【摘要】：

分类是基本逻辑方法之一。依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。“物以类聚，人以群分”。将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法。它既是一种常用的策略，也是一种重要的数学思想。

解题中正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的问题大大的简化，达到化繁为简，化难为易，分而治之的目的，这是学习任何科学，包括数学学习的一种科学方法。如果能让学生理解并掌握分类讨论的思想方法，就可以培养学生的综合分析能力和思维的条理性、严谨性和完整性，提高和发展他们的思维能力。

【关键词】：分类方法的孕育分类方法的初步形成分类方法的应用

一、引子：

分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。

通过对分类方法的多次孕育，学生对分类思想已有了一定的认识，引进实数、次方根是对学生进行分类思想方法的极好题材。

正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、一元二次方程的根的判别式、含字母系数的方程、分式方程、无理方程、频数分布直方图、频率分布直方图、直线和圆的位置关系、与圆有关的角、圆周角、弦切角。

在日常教学中的这种有序的、有目的渗透，使学生在学习的过程中逐步领悟出和接受解决问题中的分类讨论的思想，明确分类讨论的思想是解决某些数学问题的一种重要的、有用的思想方法。

二、研究过程：

1、研究内容：

数学思想方法是在数学知识的发生和应用的过程中形成和发展的，因此，教师要有机地利用数学学习过程进行渗透，不断加以归纳、提炼、强化。这就要求教师认真钻研教材，从整体出发，有计划、有目的地结合数学知识的学习，进行数学思想的教学，不失时机地逐步引导学生建立分类讨论的思想，揭示分类讨论思想的本质，使学生能够自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学问题，形成能力。

2、研究范围：我校现初二学生

3、研究方法：

分类思想不像一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。

教学中我们从以下几个方面，让学生在数学学习过程中形成对分类思想的主动应用：

1)有意识地分阶段渗透分类讨论思想

2)启发诱导，适时揭示分类讨论思想的本质

3)创设情境，深化提高，使学生自觉应用分类讨论思想

三、结题论文：

分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫做逻辑划分。不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想。因此分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种数学思想。

以下是我们在教学过程中渗透分类思想的教学案例：

(一)预备年级中：《长方体的再认识》中

老师：一张桌子有四个角，砍掉一个角后，还剩几个角？

同学：“三个”、“四个”、“五个”

老师：请说“三个”的同学来给大家演示一下他是如何砍？

请说“四个”的同学来给大家演示一下他是如何砍？

请说“五个”的同学来给大家演示一下他是如何砍？

实际上，这就是一题分类思想的典型题目。

“砍去一只角后”可能出现的多种情况，我们需分门别类，一一展示，再细细计算：

（1）确下去的那条边不经过桌面（矩形）顶点，那么还剩下

图1

4-1+2=5个角（如图1所示）；

（2）砍下去的那条边经过桌面的一个顶点，那么还剩下

图2

4-1+1=4个角（如图2所示）；

（3）当砍下去的那条边经过桌面的两个顶点，那么还剩下

图3

4－1＝3个角（如图3所示）

在这道题目中，学生的答案可能五花八门，教师要启发诱导、有意识的组织学生去分类，体会数学中的分类思想。

(二)初一年级中《实数》：

老师：“-a一定是负数吗？”

学生：“有负号，应该是负数”

老师：“想一想-a表示什么什么含义？”

学生：“a的相反数”

老师：“再想一想，题目中的a到底是什么数？”

学生：“正数”、“负数”、“零”

这题能让学生辨别不同分类的依据，初步体会分类要不重复，不遗漏；标准不同则分类不同的基本原则。

在学习绝对值的过程中，也同样采用这个方法，应如何表示，并要求学生能做一些简单的化简题。例如去掉，中的绝对值符号，在解题的过程使学生体会分类讨论的思想方法，学会初步应用。

(三)如：在初一期末考试中有这样一题：

已知一个三角形三个内角比为2：1：1，试判断这个三角形的形状。大多数学生会考虑到是直角三角形或等腰三角形，很少会有学生写下正确的等腰直角三角形。

在几何中由于图形的形状、位置的不同，条件的不确定，分类讨论显得尤为重要。

(四)初一教材中《全等三角形》中，运用分类的思想分析问题，解决问题

课前准备：将学生分成A、B两组，

组织教学活动：

1、给定三角形一个条件，能得出两个三角形全等吗？（一边或一角）

2、给定三角形二个条件，能得出两个三角形全等吗？（两边或两角或一边一角）

3、给定三角形三个条件，能得出两个三角形全等吗？（三边、三角、两边夹角、两边与其中一边对角、两角夹边、两角及其一角对边等）

4、给定三角形四个条件，能得出两个三角形全等吗？

5、给定三角形五个或六个条件呢?

最后得出结论：

1)判断两个三角形是否全等至少需要三个条件；

2)能够判断两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS

通过这一节课让学生感受、体验两个问题：

1.能够让学生完整的体验数学中的一个重要思想——分类思想；

2.能够让学生完整的了解判断三角形全等的条件。

（五）初二教材《根的判别式》中，方程kx2-2x+3=0有几个实数根？

学生往往不注意k对方程性质的影响，讨论或讲评中，使学生明确系数k决定方程的次数，从而分k=0，k≠0两类讨论。

当k≠0时，再分△0，△=0，△0三种情况进行讨论。

这道例题是初中数学的常见习题，在教学中引导学生思考此类问题，一方面渗透分类思想，一方面通过具体的实例使学生体会分类的实质为：化繁为简，将一个复杂的问题分为几个简单的问题，分而治之；其次，有时分类并不是一次就可完成，需逐级分类。

（六）初二教材《一元整式方程》中的含字母系数方程的解法

如：化简得：学生往往容易忽略对字母系数的讨论，要引导学生对字母进行分类讨论，体会分类讨论的思想以及由特殊到一般、一般到特殊的辨证思想，提升学生的思想观点。

在教学中应边学习边总结，使学生明确引起分类讨论的原因，增强学生自觉应用分类讨论的意识。在初中数学中，若涉及到以下几个方面，往往需要进行分类讨论：

1、有些知识本身是分类定义和概括的。如绝对值的定义、一元二次方程根的判别式等

2、数和式的变形中需要附加条件，如ａ=1

3、研究含有字母的方程、不等式解的特征和求解

4、涉及几何图形的形状和位置的问题

5、开放性的数学问题

6、一般得，当问题的条件特别少时，需要分类以补充条件的情况

四、结论、建议：

分类讨论是重要的数学思想方法，但初中学生常常分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。这就需要教师认真钻研教材，从整体出发，有计划、有目的地结合数学知识的学习，进行数学思想的教学，要创设情境，不失时机地逐步引导学生建立分类讨论的思想，揭示分类讨论思想的本质，在教学过程中举一些符合大纲要求且学生能够接受的例子，使学生能够自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学问题，形成能力。

数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，从小抓起，从细微处着手，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。