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本文题目：高二数学数学课后练习题：数学归纳法及其应用举例

数学归纳法及其应用举例

一、选择题(共49题，题分合计245分)

1.用数学归纳法证明:1+ + ++ 1)时,由n=k(k1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是

A.2k-1 B.2k-1 C.2k D.2k+1

2.球面上有n个大圆,其中任何三个都不相交于同一点,设球面被这n个大圆所分

成的部分为f(n),则下列猜想:①f(n)=n,②f(n)=f(n-1)+2n,③f(n)=n2-n+2

中,正确的是

A.①与② B.①与③ C.②与③ D.只有③

3.某个命题与自然数m有关,若m=k(kN)时该命题成立,那么可以推得m=k+1时该命题成立,现已知当m=5时,该命题不成立,那么可推得

A.当m=6时该命题不成立 B.当m=6时该命题成立

C.当m=4时该命题不成立 D.当m=4时该命题成立

4.设f(n)= (nN),那么f(n+1)-f(n)等于

A. B. C. + D. -

5.用数学归纳法证明1+a+a2++ = (nN,a1)中,在验证n=1时,左式应为

A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3

6.用数学归纳法证明5n-2n能被3整除的第二步中,n=k+1时,为了使用归纳假设,应把5 k+1 -2 k+1变形为

A.(5k-2 k)+45 k -2 k B.5(5 k -2 k)+32 k C.(5 k -2 k)(5-2) D.2(5 k -2 k)-35 k

7.平面内原有k条直线,它们把平面划分成f(k)个区域,则增加第k+1条直线后,这k+1条直线把平面分成的区域至多增加

A.k个 B.k+1个 C.f(k)个 D.f(k)+(k+1)个

8.已知凸k边形的对角线条数为f(k)(k3)条,则凸k+1边形的对角线条数为

A.f(k)+k B.f(k)+k+1 C.f(k)+k-1 D.f(k)+k-2

9.用数学归纳法证明(n+1)+(n+2)++(n+n)= 的第二步中,n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差等于

A.2k+2 B.4k+3 C.3k+2 D.k+1

10.下面四个判断中,正确的是

A.式子1+k+k2++kn(nN),当n=1时恒为1

B.式子1+k+k2++kn-1(nN),当n=1时恒为1+k

C.式子 + (nN),当n=1时恒为

D.设f(x)= (nN),则f(k+1)=f(k)+

11.用数字归纳法证1+x+x2++xn+1= (x1),在验证n=1成立时,左边所得的代数式是

A.1 B.1+x C.1+x+x2 D.1+x+x2+x3

12.用数字归纳法证明1+2++(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,在验证n=1成立时,左边所得的代数式是

A.1 B.1+3 C.1+2+3 D.1+2+3+4

13.用数学归纳法证明当n是非负数时,34n+2+52n+1能被14整除的第二步中,为了使用归纳假设应将34k+6+52k+3变形为

A.34k+281+52k+125 B.34k+1243+52k125 C.25(34k+2+52k+1)+5634k+2 D.34k+49+52k+25

14.用数学归纳法证明 + + ++ = (nN)时,从n=k到n=k+1,等式左边需增添的项是

A. B. C. D.

15.利用数学归纳法证明不等式 ,(n2,nN)的过程中,由n=k变到n=k+1时,左边增加了

A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项

16.用数学归纳法证明5n-2n能被3整除的第二步中，n=k+1时，为了使用假设，应将5k+1-2k+1变形为

A.(5k-2k)+45k-2k B.5(5k-2k)+32k C.(5-2)(5k-2k) D.2(5k-2k)-35k

17.平面内原有k条直线,它们的交点个数记为f(k),则增加一条直线后,它们的交点个数最多为

A.f(k)+1 B.f(k)+k C.f(k)+k+1 D.kf(k)

18.已知一个命题P(k),k=2n(nN),若n=1,2,,1000时,P(k)成立,且当n=1000+1时它也成立,下列判断中,正确的是

A.P(k)对k=2004成立 B.P(k)对每一个自然数k成立

C.P(k)对每一个正偶数k成立 D.P(k)对某些偶数可能不成立

19.用数学归纳法证明: ,从k到k+1需在不等式两边加上

A. B. C. D.

20.设 ,则f(2k)变形到f(2k+1)需增添项数为

A.2k+1项 B.2k项 C.2项 D.1项

21.欲用数学归纳法证明：对于足够大的自然数n，总有2nn3,n0为验证的第一个值，则

A.n0=1 B.n0为大于1小于10的某个整数 C.n010 D.n0=2

22.某同学回答用数字归纳法证明

A.当n=1时,验证过程不具体 B.归纳假设的写法不正确

C.从k到k+1的推理不严密 D.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设

23.平面上有k(k3)条直线,其中有k-1条直线互相平行,剩下一条与它们不平行,则这k条直线将平面分成区域的个数为

A.k个 B.k+2个 C.2k个 D.2k+2个

24.已知凸k边形的对角线条数为f(k)(k3)，则凸k+1边形的对角线条数为

A.f(k)+k B.f(k)+k+1 C.f(k)+k-1 D.f(k)+k-2

25.平面内原有k条直线，它们将平面分成f(k)个区域，则增加第k+1条直线后，这k+1条直线将平面分成的区域最多会增加

A.k个 B.k+1个 C.f(k)个 D.f(k)+1个

26.同一平面内有n个圆,其中每两个圆都有两个不同交点,并且三个圆不过同一点,则这n个圆把平面分成

A.2n部分 B.n2部分 C.2n-2部分 D.n2-n+2部分

27.平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，这n个圆把平面分成f(n)个部分，则满足上述条件的n+1个圆把平面分成的部分f(n+1)与f(n)的关系是

A.f(n+1)=f(n)+n B.f(n+1)=f(n)+2n C.f(n+1)=f(n)+n+1 D.f(n+1)=f(n)+n+2

28.用数学归纳法证明不等式 成立时， 应取的第一个值为

A.1 B.3 C.4 D.5

29.若 ，则 等于

A. B.

C. D.

30.设凸n边形的内角和为f (n)，则f (n+1) - f (n) 等于

A. B. C. D.

31.用数学归纳法证明不等式 成立,则n的第一个值应取

A.7 B.8 C.9 D.10

32. 等于

A. B. C. D.

33.已知ab是不相等的正数,若 ,则b的取值范围是

A.02

34.利用数学归纳法证明对任意偶数n,an-bn能被a+b整除时,其第二步论证,应该是

A.假设n=k时命题成立,再证n=k+1时命题也成立

B.假设n=2k时命题成立,再证n=2k+1时命题也成立

C.假设n=k时命题成立,再证n=k+2时命题也成立

D.假设n=2k时命题成立,再证n=2(k+1)时命题也成立

35.用数学归纳法证明42n-1+3n+1(nN)能被13整除的第二步中,当n=k+1时为了使用假设,对42k+1+3k+2变形正确的是

A.16(42k-1+3k+1)-133k+1 B.442k+93k

C.(42k-1+3k+1)+1542k-1+23k+1 D.3(42k-1+3k+1)-1342k-1

36.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN)时,从 两边同乘以一个代数式,它是

A.2k+2 B.(2k+1)(2k+2) C. D.

37.用数学归纳法证明某命题时,左式为 +cos+cos3++cos(2n-1)(kZ,nN),在验证n=1时,左边所得的代数式为

A. B. +cos C. +cos+cos 3 D. +cos+cos 3+cos 5

38.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)时,第二步n=k+1时的左边应是n=k时的左边乘以

A.(k+1+k+1) B.(k+1+k)(k+1+k+1) C. D.

39.设Sk= + + ++ ,则Sk+1为

A. B.

C. D.

40.用数字归纳法证明某命题时,左式为1- ++ ,从n=k到n=k+1,应将左边加上

A. B. C. D.

41.用数学归纳法证明当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除时,第二步应是

A.假设n=k(kN)时命题成立,推得n=k+1时命题成立

B.假设n=2k+1(kN)时命题成立,推得n=2k+3时命题成立

C.假设k=2k-1(kN)时命题成立,推得n=2k+1时命题成立

D.假设nk(k1,kN)时命题成立,推得n=k+2时命题成立

42.设p(k):1+ (k N),则p(k+1)为

A.

B.

C.

D.上述均不正确

43.k棱柱有f(k)个对角面，则k+1棱柱有对角面的个数为

A.2f(k) B.k-1+f(k) C.f(k)+k D.f(k)+2

44.已知 ，则 等于

A. B.

C. D.

45.用数学归纳法证明

，在验证n=1等式成立时，左边计算所得的项是

A. B. C. D.

46.用数学归纳法证明某不等式，其中证 时不等式成立的关键一步是：

，括号中应填的式子是

A. B. C. D.

47.对于不等式 ，某人的证明过程如下： 当 时， 不等式成立。 假设 时不等式成立，即 ，则 时，

。 当 时，不等式成立。上述证法

A.过程全都正确 B. 验得不正确

C.归纳假设不正确 D.从 到 的推理不正确

48.某个命题与自然数n有关,如果当n=k(kN)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得

A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立

C.当n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立

49.利用数学归纳法证明不等式 时,由假设n=k时命题成立到当n=k+1时,正确的步骤是

A.

B.

C.

D.

二、填空题(共9题，题分合计36分)

1.用数学归纳法证明:当nN,1+2+22+23++25n-1是31倍数时,当n=1时,原式为

___________________.从n=k到n=k+1时需增添的项是_______________________.

2.用数学归纳法证明1+ + ++ 1)，在验证n=2成立时，左式是____________________.

3.不等式 + ++ 中，当n=kn=k+1时，不等式左边增加的项是___________________，少掉的项是________________.

4.平面上原有k个圆，它们的交点个数记为f(k)，则增加第k+1个圆后，交点个数最多增加_________个.

5.用数学归纳法证明 ，从 到 一步时，等式两边应增添的式子是____________________.

6.用数学归纳法证明 (a,b是非负实数,nN+)时,假设n=k

时不等式 (*)成立,再推证n=k+1时不等式也成立的关键是将(*)式

__________________.

7.用数学归纳法证明 能被14整除时，当 时，对于 应变形为________________________.

8.用数学归纳法证明 时，第一步验证为_______________________________________________________________________________.

9.用数学归纳法证明 时，当 时，应证明的等式为__________________.

三、解答题(共36题，题分合计362分)

1.已知数列{an}的前n项和为Sn，是否存在a,b,c使得an=an2+bn+c,且满足a1=1，3Sn=(n+2)an对一切自然数n都成立?试证明你的结论.

2.平面上有几个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆都不相交于同一点,求证这n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2个部分.

3.设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并对一切自然数n有,

(1)写出数列前3项;

(2)求数列{an}的通项公式(予以证明).

4.已知数列 计算S1 、S2、S3由此推测Sn 的公式，然后用数学归纳法证明.

5.求最大的正整数m,使得f(n)=(2n+7)3n+9对任意的正整数n,都能被m整除,并证明你的结论.

6.当nN时,Sn=1- + - ++ - ,Tn= + ++ .对于相同的n,试比较Sn与Tn的大小关系,并证明你的结论.

7.已知函数f(n)= -2 +2(n4)

(1)试求反函数f-1(n),并指出其定义域;

(2)如果数列{an}(an0)中a1=2,前n项和为Sn(nN)且Sn= f-1(Sn-1),求{an}的

通项公式;

(3)求 的值.

8.已知数列{an}的前n项和为Sn，是否存在a,b,c使得an=an2+bn+c,且满足a1=1，3Sn=(n+2)an对一切自然数n都成立?试证明你的结论.

9.已知:x-1且x0,nN,n2求证:(1+x)n1+nx.

10.求证:二项式x2n-y2n(nN)能被x+y整除.

11.是否存在常数a，b使等式

1n+2(n-1)+3(n-2)++(n-2)3+(n-1)2+n1= n(n+a)(n+b)对一切自然数N都成立，并证明你的结论.

12.已知x11,且xn+1= (n=1,2,3).试证:数列{xn}或者对任意的自然数n都满足xn

13.是否存在常数abc,使得等式122+232++n(n+1)2= (an2+bn+c)对一切自然数n成立?并证明你的结论.

14.证明不等式:1+ (nN).

15.平面上有n条直线,其中无两条平行也无三条共点

求证:这n条直线

(1)彼此分成n2段;

(2)把平面分成 个部分.

16.用数归纳法证明(3n+1)7n-1是9的倍数 (nN).

17.用数学归纳法证明(x+3)n-1能被(x+2)整除.

18.用数学归纳法证明：1+2+3++2 n=n(2n+1)( nN) .

19.下列所给条件，写出数列{an｝的前四项，猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明.

已知a1=1，Sn= n2an (n2).

20.下列所给条件，写出数列{an｝的前四项，猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明.

已知a1=1，且an、an+1、2a1成等差数列.

21.对于任意自然数n，n3+11n能被6整除.

22.已知数列{bn｝是等差数列, , ,

(1)求数列{bn｝的通项.

(2)设数列{an｝的通项 (其中 )记Sn是数列{an｝的前n项和,试比较Sn与 的大小,并证明你的理论.

23.用数学归纳法证明

已知：

24.

25.设 ,是否存在关于n的整式g(n)使 对大于1的一切正整数n都成立?并证明你的结论.

26.平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,

(1)设这n条直线互相分割成f (n) 条线段或射线,猜想f (n) 的表达式并给以证明.

(2)求证:这n条直线把平面分成 个区域.

27.数列{an｝中, ,设 .

(1)试求出 的值;

(2)猜想出 ,并用数学归纳法证明.

28.是否存在常数a、b、c使等式

对一切自然数n都成立，并证明结论.

29.在各项都为正数的数列{an｝中，其前n项和为Sn，且 ( nN)，试由a1，a2，a3的值推测an的计算公式，并证明之.

30.已知f(x)=2x+b，f1 (x)= f [f(x)]，fn (x)= fn-1 [f(x)] (nN，n2)，试求a

31.设函数 ,

若数列 满足 ,

求证：当

32.用数学归纳法证明

(nN)

33.用数学归纳法证明|sinnn|sin|.

34.

试比较An与Bn的大小，并说明理由.

35.已知等差数列{an｝的第2项为8,前10项的和为185.

(1)求数列{an｝的通项公式.

(2)若从数列{an｝中依次取出第2项,第4项,第8项,...,第2n项,......按原来顺序排成一个新的数列,求此数列的前n项和Sn.

(3)设Tn= n(an +9),试比较Sn与Tn的大小,并说明理由.

36.数列{an}的通项公式an= ,f(n)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)(1-an).

(1)求f(1),f(2),f(3),f(4),并猜想f(n)的表达式;

(2)用数字归纳法证明你的结论.

数学归纳法及其应用举例答案

一、选择题(共49题，合计245分)

1. C 2. C 3. C 4. D 5. C 6. B 7. B 8. C 9.B 10.C 11.C 12.C

13.C 14.C 15.D 16.B 17. B 18.D 19.C 20.B 21.C 22.D 23.C 24.C

25.B 26.D 27.B 28.D 29.D 30.C 31.B 32.B 33. B 34.D 35.A 36.D

37.B 38. D 39.C 40.D 41.C 42.C 43. B 44. C 45. B 46.C 47.D

48. C 49.D

二、填空题(共9题，合计36分)

1. 1+2+22+23+24

2.

3.

4. 2k

5.

6.两边同时乘以

7.

8.当 时，左边 ， 右边 不等式 成立

9.

三、解答题(共36题，合计362分)

1.见注释

2.见注释

3.见注释

4.见注释

5. m=36

6.相等

7. (1) (2) (3)1

8.见注释

9.见注释

10见注释

11.见注释

12.见注释

13.见注释

14.见注释

15.见注释

16.见注释

17.见注释

18.见注释

19.

20.

21.见注释

22.见注释

23.见注释

24.见注释

25.见注释

26.见注释

27.见注释

28.令n=1，n=2，n=3，列方程组求得a=3，b=11，c=10.再用数学归纳法证明.

29.a1=1，a2= ，a3= ，推测 并用数学归纳法证明.

30. f1 (x)=22 x+(2+1) b，f2 (x)=23 x+(22+2+1) b，f3 (x)=24 x+(23+22+2+1) b，推测fn (x)= 2n+1 x+(2n+2n-1++2+1) b

31.见注释

32.见注释

33.见注释

34.见注释

35.见注释

36. (1)f(1)= ,f(2)= ,f(3)= ,f(4)= ,故猜想f(n)=

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