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本文题目：高二数学课后练习题：定积分的简单应用

选修2-2 1.7 定积分的简单应用

一、选择题

1.如图所示，阴影部分的面积为()

A.abf(x)dx B.abg(x)dx

C.ab[f(x)-g(x)]dx D.ab[g(x)-f(x)]dx

[答案] C

[解析] 由题图易知，当x[a，b]时，f(x)g(x)，所以阴影部分的面积为ab[f(x)-g(x)]dx.

2.如图所示，阴影部分的面积是()

A.23 B.2-3

C.323 D.353

[答案] C

[解析] S=1-3(3-x2-2x)dx

即F(x)=3x-13x3-x2，

则F(1)=3-1-13=53，

F(-3)=-9-9+9=-9.

S=F(1)-F(-3)=53+9=323.故应选C.

3.由曲线y=x2-1、直线x=0、x=2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()

A.02(x2-1)dx

B.|02(x2-1)dx|

C.02|x2-1|dx

D.01(x2-1)dx+12(x2-1)dx

[答案] C

[解析] y=|x2-1|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C.

4.设f(x)在[a，b]上连续，则曲线f(x)与直线x=a，x=b，y=0围成图形的面积为()

A.abf(x)dx B.|abf(x)dx|

C.ab|f(x)|dx D.以上都不对

[答案] C

[解析] 当f(x)在[a，b]上满足f(x)0时，abf(x)dx0，排除A;当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时，abf(x)dx是两面积之差，排除B;无论什么情况C对，故应选C.

5.曲线y=1-1681x2与x轴所围图形的面积是()

A.4 B.3

C.2 D.52

[答案] B

[解析] 曲线与x轴的交点为-94，0，94，0

故应选B.

6.一物体以速度v=(3t2+2t)m/s做直线运动，则它在t

=0s到t=3s时间段内的位移是

()

A.31m B.36m

C.38m D.40m

[答案] B

[解析] S=03(3t2+2t)dt=(t3+t2)30=33+32=36(m)，故应选B.

7.(2016山东理，7)由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为()

A.112 B.14

C.13 D.712

[答案] A

[解析] 由y=x2y=x3得交点为(0,0)，(1,1).

S=01(x2-x3)dx=13x3-14x410=112.

8.一物体在力F(x)=4x-1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=1运动到x=3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为()

A.8J B.10J

C.12J D.14J

[答案] D

[解析] 由变力做功公式有：W=13(4x-1)dx=(2x2-x)31=14(J)，故应选D.

9.若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a=36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为()

A.12 B.3-322

C.6+32 D.6-32

[答案] D

[解析] 3636tdt=66t63=6-32，故应选D.

10.过原点的直线l与抛物线y=x2-2ax(a0)所围成的图形面积为92a3，则直线l的方程为()

A.y=ax B.y=ax

C.y=-ax D.y=-5ax

[答案] B

[解析] 设直线l的方程为y=kx，

由y=kxy=x2-2ax得交点坐标为(0,0)，(2a+k,2ak+k2)

图形面积S=2a+k0[kx-(x2-2ax)]dx

=k+2a2x2-x332a+k0

=(k+2a)32-(2a+k)33=(2a+k)36=92a3

k=a，l的方程为y=ax，故应选B.

二、填空题

11.由曲线y2=2x，y=x-4所围图形的面积是________.

[答案] 18

[解析] 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组y2=2xy=x-4得交点坐标为(2，-2)，(8,4).

因此所求图形的面积S=4-2(y+4-y22)dy

取F(y)=12y2+4y-y36，则F(y)=y+4-y22，从而S=F(4)-F(-2)=18.

12.一物体沿直线以v=1+tm/s的速度运动，该物体运动开始后10s内所经过的路程是________.

13.由两条曲线y=x2，y=14x2与直线y=1围成平面区域的面积是________.

[答案] 43

[解析] 如图，y=1与y=x2交点A(1,1)，y=1与y=x24交点B(2,1)，由对称性可知面积S=2(01x2dx+12dx-0214x2dx)=43.

14.一变速运动物体的运动速度v(t)=2t (01)at (12)bt (2e)

则该物体在0e时间段内运动的路程为(速度单位：m/s，时间单位：s)______________________.

[答案] 9-8ln2+2ln2

[解析] ∵01时，v(t)=2t，v(1)=2;

又12时，v(t)=at，

v(1)=a=2，v(2)=a2=22=4;

又2e时，v(t)=bt，

v(2)=b2=4，b=8.

路程为S=012tdt+122tdt+2e8tdt=9-8ln2+2ln2 .

三、解答题

15.计算曲线y=x2-2x+3与直线y=x+3所围图形的面积.

[解析] 由y=x+3y=x2-2x+3解得x=0及x=3.

从而所求图形的面积

S=03(x+3)dx-03(x2-2x+3)dx

=03[(x+3)-(x2-2x+3)]dx

=03(-x2+3x)dx

=-13x3+32x230=92.

16.设y=f(x)是二次函数，方程f(x)=0有两个相等的实根，且f(x)=2x+2.

(1)求y=f(x)的表达式;

(2)若直线x=-t(0

[解析] (1)设f(x)=ax2+bx+c(a0)，则f(x)=2ax+b，

又已知f(x)=2x+2，a=1，b=2，

f(x)=x2+2x+c.

又方程f(x)=0有两个相等实根.

判别式=4-4c=0，即c=1.

故f(x)=x2+2x+1.

(2)依题意有-1-t(x2+2x+1)dx=0-t(x2+2x+1)dx，

13x3+x2+x-t-1=13x3+x2+x0-t

即-13t3+t2-t+13=13t3-t2+t.

2t3-6t2+6t-1=0，

2(t-1)3=-1，t=1-132 .

17.A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点的速度达24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24-1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：

(1)A、C间的距离;

(2)B、D间的距离;

(3)电车从A站到B站所需的时间.

[解析] (1)设A到C经过t1s，

由1.2t=24得t1=20(s)，

所以AC=2001.2tdt=0.6t2200=240(m).

(2)设从DB经过t2s，

由24-1.2t2=0得t2=20(s)，

所以DB=200(24-1.2t)dt=240(m).

(3)CD=7200-2240=6720(m).

从C到D的时间为t3=672024=280(s).

于是所求时间为20+280+20=320(s).

18.在曲线y=x2(x0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为112，试求：

(1)切点A的坐标;

(2)过切点A的切线方程.

[解析] 如图所示，设切点A(x0，y0)，由y=2x，过A点的切线方程为y-y0=2x0(x-x0)，

即y=2x0x-x20.

令y=0得x=x02，即Cx02，0.

设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，

S=S曲边△AOB-S△ABC.

S曲边△AOB=x00x2dx=13x30，

S△ABC=12|BC||AB|

=12x0-x02x20=14x30，

即S=13x30-14x30=112x30=112.

所以x0=1，从而切点A(1,1)，切线方程为y=2x-1.

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