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本文题目：高二数学课后练习题：导数的概念

选修2-2 1.1 第2课时 导数的概念

一、选择题

1.函数在某一点的导数是()

A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比

B.一个函数

C.一个常数，不是变数

D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率

[答案] C

[解析] 由定义，f(x0)是当x无限趋近于0时，yx无限趋近的常数，故应选C.

2.如果质点A按照规律s=3t2运动，则在t0=3时的瞬时速度为()

A.6 B.18

C.54 D.81

[答案] B

[解析] ∵s(t)=3t2，t0=3，

s=s(t0+t)-s(t0)=3(3+t)2-332

=18t+3(t)2st=18+3t.

当t0时，st18，故应选B.

3.y=x2在x=1处的导数为()

A.2x B.2

C.2+x D.1

[答案] B

[解析] ∵f(x)=x2，x=1，

y=f(1+x)2-f(1)=(1+x)2-1=2x+(x)2

yx=2+x

当x0时，yx2

f(1)=2，故应选B.

4.一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)=4t2-3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t=5时的瞬时速度为()

A.37 B.38

C.39 D.40

[答案] D

[解析] ∵st=4(5+t)2-3-452+3t=40+4t，

s(5)=limt0 st=limt0 (40+4t)=40.故应选D.

5.已知函数y=f(x)，那么下列说法错误的是()

A.y=f(x0+x)-f(x0)叫做函数值的增量

B.yx=f(x0+x)-f(x0)x叫做函数在x0到x0+x之间的平均变化率

C.f(x)在x0处的导数记为y

D.f(x)在x0处的导数记为f(x0)

[答案] C

[解析] 由导数的定义可知C错误.故应选C.

6.函数f(x)在x=x0处的导数可表示为y|x=x0，即()

A.f(x0)=f(x0+x)-f(x0)

B.f(x0)=limx0[f(x0+x)-f(x0)]

C.f(x0)=f(x0+x)-f(x0)x

D.f(x0)=limx0 f(x0+x)-f(x0)x

[答案] D

[解析] 由导数的定义知D正确.故应选D.

7.函数y=ax2+bx+c(a0，a，b，c为常数)在x=2时的瞬时变化率等于()

A.4a B.2a+b

C.b D.4a+b

[答案] D

[解析] ∵yx=a(2+x)2+b(2+x)+c-4a-2b-cx

=4a+b+ax，

y|x=2=limx0 yx=limx0 (4a+b+ax)=4a+b.故应选D.

8.如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是()

A.圆 B.抛物线

C.椭圆 D.直线

[答案] D

[解析] 当f(x)=b时，f(x)=0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.

9.一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s=3t-t2，则物体的初速度为()

A.0 B.3

C.-2 D.3-2t

[答案] B

[解析] ∵st=3(0+t)-(0+t)2t=3-t，

s(0)=limt0 st=3.故应选B.

10.设f(x)=1x，则limxa f(x)-f(a)x-a等于()

A.-1a B.2a

C.-1a2 D.1a2

[答案] C

[解析] limxa f(x)-f(a)x-a=limxa 1x-1ax-a

=limxa a-x(x-a)xa=-limxa 1ax=-1a2.

二、填空题

11.已知函数y=f(x)在x=x0处的导数为11，则

limx0f(x0-x)-f(x0)x=________;

limxx0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=________.

[答案] -11，-112

[解析] limx0 f(x0-x)-f(x0)x

=-limx0 f(x0-x)-f(x0)-x=-f(x0)=-11;

limxx0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=-12limx0 f(x0+x)-f(x0)x

=-12f(x0)=-112.

12.函数y=x+1x在x=1处的导数是________.

[答案] 0

[解析] ∵y=1+x+11+x-1+11

=x-1+1x+1=(x)2x+1，

yx=xx+1.y|x=1=limx0 xx+1=0.

13.已知函数f(x)=ax+4，若f(2)=2，则a等于______.

[答案] 2

[解析] ∵yx=a(2+x)+4-2a-4x=a，

f(1)=limx0 yx=a.a=2.

14.已知f(x0)=limxx0 f(x)-f(x0)x-x0，f(3)=2，f(3)=-2，则limx3 2x-3f(x)x-3的值是________.

[答案] 8

[解析] limx3 2x-3f(x)x-3=limx3 2x-3f(x)+3f(3)-3f(3)x-3

=limx3 2x-3f(3)x-3+limx3 3(f(3)-f(x))x-3.

由于f(3)=2，上式可化为

limx3 2(x-3)x-3-3limx3 f(x)-f(3)x-3=2-3(-2)=8.

三、解答题

15.设f(x)=x2，求f(x0)，f(-1)，f(2).

[解析] 由导数定义有f(x0)

=limx0 f(x0+x)-f(x0)x

=limx0 (x0+x)2-x20x=limx0 x(2x0+x)x=2x0，

16.枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.610-3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度.

[解析] 位移公式为s=12at2

∵s=12a(t0+t)2-12at20=at0t+12a(t)2

st=at0+12at，

limt0 st=limt0 at0+12at=at0，

已知a=5.0105m/s2，t0=1.610-3s，

at0=800m/s.

所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.

17.在曲线y=f(x)=x2+3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1+x,4+y)，求(1)yx (2)f(1).

[解析] (1)yx=f(1+x)-f(1)x

=(1+x)2+3-12-3x=2+x.

(2)f(1)=limx0 f(1+x)-f(1)x

=limx0 (2+x)=2.

18.函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处是否有导数?若有，求出来，若没有，说明理由.

[解析] f(x)=x+x2(x0)-x-x2 (x0)

y=f(0+x)-f(0)=f(x)

=x+(x)2(0)-x-(x)2 (0)

limx0+ yx=limx0+ (1+x)=1，

limx0- yx=limx0- (-1-x)=-1，

∵limx0- ylimx0+ yx，x0时，yx无极限.

函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处没有导数，即不可导.(x0+表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x0且x趋近于0)

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