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本文题目：高二数学课后练习题：变化率问题

选修2-2 1.1 第1课时 变化率问题

一、选择题

1.在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量x()

A.大于零 B.小于零

C.等于零 D.不等于零

[答案] D

[解析] x可正，可负，但不为0，故应选D.

2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0变化到x0+x时，函数的改变量y为()

A.f(x0+x) B.f(x0)+x

C.f(x0)x D.f(x0+x)-f(x0)

[答案] D

[解析] 由定义，函数值的改变量y=f(x0+x)-f(x0)，故应选D.

3.已知函数f(x)=-x2+x，则f(x)从-1到-0.9的平均变化率为()

A.3 B.0.29

C.2.09 D.2.9

[答案] D

[解析] f(-1)=-(-1)2+(-1)=-2.

f(-0.9)=-(-0.9)2+(-0.9)=-1.71.

平均变化率为f(-0.9)-f(-1)-0.9-(-1)=-1.71-(-2)0.1=2.9，故应选D.

4.已知函数f(x)=x2+4上两点A，B，xA=1，xB=1.3，则直线AB的斜率为()

A.2 B.2.3

C.2.09 D.2.1

[答案] B

[解析] f(1)=5，f(1.3)=5.69.

kAB=f(1.3)-f(1)1.3-1=5.69-50.3=2.3，故应选B.

5.已知函数f(x)=-x2+2x，函数f(x)从2到2+x的平均变化率为()

A.2-x B.-2-x

C.2+x D.(x)2-2x

[答案] B

[解析] ∵f(2)=-22+22=0，

f(2+x)=-(2+x)2+2(2+x)

=-2x-(x)2，

f(2+x)-f(2)2+x-2=-2-x，故应选B.

6.已知函数y=x2+1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1+x,2+y)，则yx等于()

A.2 B.2x

C.2+x D.2+(x)2

[答案] C

[解析] yx=f(1+x)-f(1)x

=[(1+x)2+1]-2x=2+x.故应选C.

7.质点运动规律S(t)=t2+3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为()

A.6.3 B.36.3

C.3.3 D.9.3

[答案] A

[解析] S(3)=12，S(3.3)=13.89，

平均速度v=S(3.3)-S(3)3.3-3=1.890.3=6.3，故应选A.

8.在x=1附近，取x=0.3，在四个函数①y=x、②y=x2、③y=x3、④y=1x中，平均变化率最大的是()

A.④ B.③

C.② D.①

[答案] B

[解析] x=0.3时，①y=x在x=1附近的平均变化率k1=1;②y=x2在x=1附近的平均变化率k2=2+x=2.3;③y=x3在x=1附近的平均变化率k3=3+3x+(x)2=3.99;④y=1x在x=1附近的平均变化率k4=-11+x=-1013.k3k1k4，故应选B.

9.物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s=s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0+t]内的平均速度是()

A.v0 B.ts(t0+t)-s(t0)

C.s(t0+t)-s(t0)t D.s(t)t

[答案] C

[解析] 由平均变化率的概念知C正确，故应选C.

10.已知曲线y=14x2和这条曲线上的一点P1，14，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为()

A.1+x，14(x)2 B.x，14(x)2

C.1+x，14(x+1)2 D.x，14(1+x)2

[答案] C

[解析] 点Q的横坐标应为1+x，所以其纵坐标为f(1+x)=14(x+1)2，故应选C.

二、填空题

11.已知函数y=x3-2，当x=2时，yx=________.

[答案] (x)2+6x+12

[解析] yx=(2+x)3-2-(23-2)x

=(x)3+6(x)2+12xx

=(x)2+6x+12.

12.在x=2附近，x=14时，函数y=1x的平均变化率为________.

[答案] -29

[解析] yx=12+x-12x=-14+2x=-29.

13.函数y=x在x=1附近，当x=12时的平均变化率为________.

[答案] 6-2

[解析] yx=1+x-1x=11+x+1=6-2.

14.已知曲线y=x2-1上两点A(2,3)，B(2+x,3+y)，当x=1时，割线AB的斜率是________;当x=0.1时，割线AB的斜率是________.

[答案] 5 4.1

[解析] 当x=1时，割线AB的斜率

k1=yx=(2+x)2-1-22+1x=(2+1)2-221=5.

当x=0.1时，割线AB的斜率

k2=yx=(2+0.1)2-1-22+10.1=4.1.

三、解答题

15.已知函数f(x)=2x+1，g(x)=-2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率.

[解析] 函数f(x)在[-3，-1]上的平均变化率为

f(-1)-f(-3)-1-(-3)=[2(-1)+1]-[2(-3)+1]2=2.

函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为

f(5)-f(0)5-0=2.

函数g(x)在[-3，-1]上的平均变化率为

g(-1)-g(-3)-1-(-3)=-2.

函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为

g(5)-g(0)5-0=-2.

16.过曲线f(x)=2x2的图象上两点A(1,2)，B(1+x,2+y)作曲线的割线AB，求出当x=14时割线的斜率.

[解析] 割线AB的斜率k=(2+y)-2(1+x)-1=yx

=2(1+x)2-2x=-2(x+2)(1+x)2=-7225.

17.求函数y=x2在x=1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大?

[解析] 在x=2附近的平均变化率为

k1=f(1+x)-f(1)x=(1+x)2-1x=2+

在x=2附近的平均变化率为

k2=f(2+x)-f(2)x=(2+x)2-22x=4+

在x=3附近的平均变化率为

k3=f(3+x)-f(3)x=(3+x)2-32x=6+x.

对任意x有，k1

在x=3附近的平均变化率最大.

18.(2016杭州高二检测)路灯距地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线离开路灯.

(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式;

(2)求人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率.

[解析] (1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为xm，AB为身影长度，AB的长度为ym，由于CD∥BE，

则ABAC=BECD，

即yy+x=1.68，所以y=f(x)=14x.

(2)84m/min=1.4m/s，在[0,10]内自变量的增量为

x2-x1=1.410-1.40=14，

f(x2)-f(x1)=1414-140=72.

所以f(x2)-f(x1)x2-x1=7214=14.

即人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率为14.

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