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本文题目：高二数学恪守练习题：函数的单调性与导数

选修2-2 1.3.1 函数的单调性与导数

一、选择题

1.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是()

A.b2-4ac0 B.b0，c0

C.b=0，c0 D.b2-3ac0

[答案] D

[解析] ∵a0，f(x)为增函数，

f(x)=3ax2+2bx+c0恒成立，

=(2b)2-43ac=4b2-12ac0，b2-3ac0.

2.(2009广东文，8)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()

A.(-，2) B.(0,3)

C.(1,4) D.(2，+)

[答案] D

[解析] 考查导数的简单应用.

f(x)=(x-3)ex+(x-3)(ex)=(x-2)ex，

令f(x)0，解得x2，故选D.

3.已知函数y=f(x)(xR)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k=(x0-2)(x0+1)2，则该函数的单调递减区间为()

A.[-1，+) B.(-，2]

C.(-，-1)和(1,2) D.[2，+)

[答案] B

[解析] 令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(-，2].

4.已知函数y=xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y=f(x)的图象大致是()

[答案] C

[解析] 当0

f(x)0，故y=f(x)在(0,1)上为减函数

当x1时xf(x)0，f(x)0，故y=f(x)在(1，+)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.

5.函数y=xsinx+cosx，x，)的单调增区间是()

A.-2和0，2

B.-2，0和0，2

C.-2和

D.-2，0和

[答案] A

[解析] y=xcosx，当-

cosx0，y=xcosx0，

当00，y=xcosx0.

6.下列命题成立的是()

A.若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x(a，b)，都有f(x)0

B.若在(a，b)内对任何x都有f(x)0，则f(x)在(a，b)上是增函数

C.若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f(x)必存在

D.若f(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数

[答案] B

[解析] 若f(x)在(a，b)内是增函数，则f(x)0，故A错;f(x)在(a，b)内是单调函数与f(x)是否存在无必然联系，故C错;f(x)=2在(a，b)上的导数为f(x)=0存在，但f(x)无单调性，故D错.

7.(2007福建理，11)已知对任意实数x，有f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0时()

A.f(x)0，g(x)0 B.f(x)0，g(x)0

C.f(x)0，g(x)0 D.f(x)0，g(x)0

[答案] B

[解析] f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，x0时，f(x)0，g(x)0.

8.f(x)是定义在(0，+)上的非负可导函数，且满足xf(x)+f(x)0，对任意正数a、b，若a

A.af(a)f(b) B.bf(b)f(a)

C.af(b)bf(a) D.bf(a)af(b)

[答案] C

[解析] ∵xf(x)+f(x)0，且x0，f(x)0，

f(x)-f(x)x，即f(x)在(0，+)上是减函数，

又0

9.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x-1)f(x)0，则必有()

A.f(0)+f(2)2f(1) B.f(0)+f(2)2f(1)

C.f(0)+f(2)2f(1) D.f(0)+f(2)2f(1)

[答案] C

[解析] 由(x-1)f(x)0得f(x)在[1，+)上单调递增，在(-，1]上单调递减或f(x)恒为常数，

故f(0)+f(2)2f(1).故应选C.

10.(2016江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0)，则导函数y=S(t)的图像大致为

()

[答案] A

[解析] 由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增减增减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.

二、填空题

11.已知y=13x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调增函数，则b的范围为________.

[答案] b-1或b2

[解析] 若y=x2+2bx+b+20恒成立，则=4b2-4(b+2)0，-12，

由题意b-1或b2.

12.已知函数f(x)=ax-lnx，若f(x)1在区间(1，+)内恒成立，实数a的取值范围为________.

[答案] a1

[解析] 由已知a1+lnxx在区间(1，+)内恒成立.

设g(x)=1+lnxx，则g(x)=-lnxx20 (x1)，

g(x)=1+lnxx在区间(1，+)内单调递减，

g(x)

∵g(1)=1，

1+lnxx1在区间(1，+)内恒成立，

a1.

13.函数y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为__________.

[答案] (-，-1)

[解析] 函数y=ln(x2-x-2)的定义域为(2，+)(-，-1)，

令f(x)=x2-x-2，f(x)=2x-10，得x12，

函数y=ln(x2-x-2)的单调减区间为(-，-1).

14.若函数y=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________.

[答案] [3，+)

[解析] y=3x2-2ax，由题意知3x2-2ax0在区间(0,2)内恒成立，

即a32x在区间(0,2)上恒成立，a3.

三、解答题

15.设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1，-11).

(1)求a、b的值;

(2)讨论函数f(x)的单调性.

[解析] (1)求导得f(x)=3x2-6ax+3b.

由于f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1，-11)，所以f(1)=-11，f(1)=-12，

即1-3a+3b=-113-6a+3b=-12，

解得a=1，b=-3.

(2)由a=1，b=-3得

f(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)

=3(x+1)(x-3).

令f(x)0，解得x-1或x又令f(x)0，解得-1

所以当x(-，-1)时，f(x)是增函数;

当x(3，+)时，f(x)也是增函数;

当x(-1,3)时，f(x)是减函数.

16.求证：方程x-12sinx=0只有一个根x=0.

[证明] 设f(x)=x-12sinx，x(-，+)，

则f(x)=1-12cosx0，

f(x)在(-，+)上是单调递增函数.

而当x=0时，f(x)=0，

方程x-12sinx=0有唯一的根x=0.

17.已知函数y=ax与y=-bx在(0，+)上都是减函数，试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.

[分析] 可先由函数y=ax与y=-bx的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y=ax3+bx2+5的单调区间.

[解析] ∵函数y=ax与y=-bx在(0，+)上都是减函数，a0，b0.

由y=ax3+bx2+5得y=3ax2+2bx.

令y0，得3ax2+2bx0，-2b3a

当x-2b3a，0时，函数为增函数.

令y0，即3ax2+2bx0，

x-2b3a，或x0.

在-，-2b3a，(0，+)上时，函数为减函数.

18.(2016新课标全国文，21)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.

(1)若a=12，求f(x)的单调区间;

(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围.

[解析] (1)a=12时，f(x)=x(ex-1)-12x2，

f(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).

当x(-，-1)时，f(x)当x(-1,0)时，f(x)当x(0，+)时，f(x)0.

故f(x)在(-，-1]，[0，+)上单调递增，在[-1,0]上单调递减.

(2)f(x)=x(ex-1-ax).

令g(x)=ex-1-ax，则g(x)=ex-a.

若a1，则当x(0，+)时，g(x)0，g(x)为增函数，而g(0)=0，从而当x0时g(x)0，即f(x)0.

当a1，则当x(0，lna)时，g(x)0，g(x)为减函数，而g(0)=0，从而当x(0，lna)时g(x)0，即f(x)0.

综合得a的取值范围为(-，1].

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