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本文题目：高二数学课后练习题：函数的最值与导数

选修2-2 1.3.3 函数的最值与导数

一、选择题

1.函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M=m，则f(x)()

A.等于0 B.大于0

C.小于0 D.以上都有可能

[答案] A

[解析] ∵M=m，y=f(x)是常数函数

f(x)=0，故应选A.

2.设f(x)=14x4+13x3+12x2在[-1,1]上的最小值为()

A.0 B.-2

C.-1 D.1312

[答案] A

[解析] y=x3+x2+x=x(x2+x+1)

令y=0，解得x=0.

f(-1)=512，f(0)=0，f(1)=1312

f(x)在[-1,1]上最小值为0.故应选A.

3.函数y=x3+x2-x+1在区间[-2,1]上的最小值为()

A.2227 B.2

C.-1 D.-4

[答案] C

[解析] y=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1)

令y=0解得x=13或x=-1

当x=-2时，y=-1;当x=-1时，y=2;

当x=13时，y=2227;当x=1时，y=2.

所以函数的最小值为-1，故应选C.

4.函数f(x)=x2-x+1在区间[-3,0]上的最值为()

A.最大值为13，最小值为34

B.最大值为1，最小值为4

C.最大值为13，最小值为1

D.最大值为-1，最小值为-7

[答案] A

[解析] ∵y=x2-x+1，y=2x-1，

令y=0，x=12，f(-3)=13，f12=34，f(0)=1.

5.函数y=x+1-x在(0,1)上的最大值为()

A.2 B.1

C.0 D.不存在

[答案] A

[解析] y=12x-121-x=121-x-xx1-x

由y=0得x=12，在0，12上y0，在12，1上

y0.x=12时y极大=2，

又x(0,1)，ymax=2.

6.函数f(x)=x4-4x (|x|1)()

A.有最大值，无最小值

B.有最大值，也有最小值

C.无最大值，有最小值

D.既无最大值，也无最小值

[答案] D

[解析] f(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1).

令f(x)=0，得x=1.又x(-1,1)

该方程无解，

故函数f(x)在(-1,1)上既无极值也无最值.故选D.

7.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是()

A.5，-15 B.5,4

C.-4，-15 D.5，-16

[答案] A

[解析] y=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1)，

令y=0，得x=2或x=-1(舍).

∵f(0)=5，f(2)=-15，f(3)=-4，

ymax=5，ymin=-15，故选A.

8.已知函数y=-x2-2x+3在[a,2]上的最大值为154，则a等于()

A.-32 B.12

C.-12 D.12或-32

[答案] C

[解析] y=-2x-2，令y=0得x=-1.

当a-1时，最大值为f(-1)=4，不合题意.

当-1

最大值为f(a)=-a2-2a+3=154，

解得a=-12或a=-32(舍去).

9.若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1，k+1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是

()

A.k-3或-11或k3

B.-3

C.-2

D.不存在这样的实数

[答案] B

[解析] 因为y=3x2-12，由y0得函数的增区间是(-，-2)和(2，+)，由y0，得函数的减区间是(-2,2)，由于函数在(k-1，k+1)上不是单调函数，所以有k-1-2

10.函数f(x)=x3+ax-2在区间[1，+)上是增函数，则实数a的取值范围是()

A.[3，+) B.[-3，+)

C.(-3，+) D.(-，-3)

[答案] B

[解析] ∵f(x)=x3+ax-2在[1，+)上是增函数，f(x)=3x2+a0在[1，+)上恒成立

即a-3x2在[1，+)上恒成立

又∵在[1，+)上(-3x2)max=-3

a-3，故应选B.

二、填空题

11.函数y=x32+(1-x)32，01的最小值为______.

[答案] 22

由y0得x12，由y0得x12.

此函数在0，12上为减函数，在12，1上为增函数，最小值在x=12时取得，ymin=22.

12.函数f(x)=5-36x+3x2+4x3在区间[-2，+)上的最大值________，最小值为________.

[答案] 不存在;-2834

[解析] f(x)=-36+6x+12x2，

令f(x)=0得x1=-2，x2=32;当x32时，函数为增函数，当-232时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f(-2)=57，f32=-2834，所以最小值为-2834.

13.若函数f(x)=xx2+a(a0)在[1，+)上的最大值为33，则a的值为________.

[答案] 3-1

[解析] f(x)=x2+a-2x2(x2+a)2=a-x2(x2+a)2

令f(x)=0，解得x=a或x=-a(舍去)

当xa时，f(x)

当x=a时，f(x)=a2a=33，a=321，不合题意.

f(x)max=f(1)=11+a=33，解得a=3-1.

14.f(x)=x3-12x+8在[-3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M-m=________.

[答案] 32

[解析] f(x)=3x2-12

由f(x)0得x2或x-2，

由f(x)0得-2

f(x)在[-3，-2]上单调递增，在[-2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增.

又f(-3)=17，f(-2)=24，f(2)=-8，

f(3)=-1，

最大值M=24，最小值m=-8，

M-m=32.

三、解答题

15.求下列函数的最值：

(1)f(x)=sin2x-x-x

(2)f(x)=x+1-x2.

[解析] (1)f(x)=2cos2x-1.

令f(x)=0，得cos2x=12.

又x2，2，2x，]，

2x=3，x=6.

函数f(x)在-2上的两个极值分别为

f6=32-6，f-6=-32+6.

又f(x)在区间端点的取值为

f2，f-2.

比较以上函数值可得f(x)max=2，f(x)min=-2.

(2)∵函数f(x)有意义，

必须满足1-x20，即-11，

函数f(x)的定义域为[-1,1].

f(x)=1+12(1-x2)-12(1-x2)=1-x1-x2 .

令f(x)=0，得x=22 .

f(x)在[-1,1]上的极值为

f22=22+1-222=2.

又f(x)在区间端点的函数值为f(1)=1，f(-1)=-1，比较以上函数值可得f(x)max=2，f(x)min=-1.

16.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.求f(x)在区间-34，14上的最大值和最小值.

[解析] f(x)的定义域为-32，+.

f(x)=2x+22x+3=4x2+6x+22x+3

=2(2x+1)(x+1)2x+3.

当-320;

当-1

当x-12时，f(x)0，

所以f(x)在-34，14上的最小值为

f-12=ln2+14.

又f-34-f14=ln32+916-ln72-116=ln37+12=121-ln4990，

所以f(x)在区间-34，14上的最大值为 f14=ln72+116.

17.(2016安徽理，17)设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a，xR.

(1)求f(x)的单调区间及极值;

(2)求证：当aln2-1且x0时，exx2-2ax+1.

[分析] 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.

解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值.(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明.

[解析] (1)解：由f(x)=ex-2x+2a，xR知f(x)=ex-2，xR.

令f(x)=0，得x=ln2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (-，ln2) ln2 (ln2，+)

f(x) - 0 +

f(x) 单调递减 ? 2(1-ln2+a) 单调递增 ?

故f(x)的单调递减区间是(-，ln2)，单调递增区间是(ln2，+)，

f(x)在x=ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).

(2)证明：设g(x)=ex-x2+2ax-1，xR，于是g(x)=ex-2x+2a，xR.

由(1)知当aln2-1时，g(x)最小值为g(ln2)=2(1-ln2+a)0.

于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增.

于是当aln2-1时，对任意x(0，+)，都有g(x)g(0).

而g(0)=0，从而对任意x(0，+)，g(x)0.

即ex-x2+2ax-10，故exx2-2ax+1.

18.已知函数f(x)=4x2-72-x，x[0,1].

(1)求f(x)的单调区间和值域;

(2)设a1，函数g(x)=x3-3a2x-2a，x[0,1].若对于任意x1[0,1]，总存在x0[0,1]，使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范围.

[解析] (1)对函数f(x)求导，得

f(x)=-4x2+16x-7(2-x)2=-(2x-1)(2x-7)(2-x)2

令f(x)=0解得x=12或x=72.

当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：

x 0 (0，12)

12

(12，1)

1

f(x) - 0 +

f(x) -72

? -4 ? -3

所以，当x(0，12)时，f(x)是减函数;

当x12，1时，f(x)是增函数.

当x[0,1]时，f(x)的值域为[-4，-3].

(2)g(x)=3(x2-a2).

因为a1，当x(0,1)时，g(x)0.

因此当x(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x[0,1]时有g(x)[g(1)，g(0)].

又g(1)=1-2a-3a2，g(0)=-2a，即x[0,1]时有g(x)[1-2a-3a2，-2a].

任给x1[0,1]，f(x1)[-4，-3]，存在x0[0,1]使得g(x0)=f(x1)成立，

则[1-2a-3a2，-2a][-4，-3].

即1-2a-3a2-4，①-2a-3.②

解①式得a1或a解②式得a32.

又a1，故a的取值范围为132.

选修2-2 1.3.3 函数的最值与导数

一、选择题

1.函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M=m，则f(x)()

A.等于0 B.大于0

C.小于0 D.以上都有可能

[答案] A

[解析] ∵M=m，y=f(x)是常数函数

f(x)=0，故应选A.

2.设f(x)=14x4+13x3+12x2在[-1,1]上的最小值为()

A.0 B.-2

C.-1 D.1312

[答案] A

[解析] y=x3+x2+x=x(x2+x+1)

令y=0，解得x=0.

f(-1)=512，f(0)=0，f(1)=1312

f(x)在[-1,1]上最小值为0.故应选A.

3.函数y=x3+x2-x+1在区间[-2,1]上的最小值为()

A.2227 B.2

C.-1 D.-4

[答案] C

[解析] y=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1)

令y=0解得x=13或x=-1

当x=-2时，y=-1;当x=-1时，y=2;

当x=13时，y=2227;当x=1时，y=2.

所以函数的最小值为-1，故应选C.

4.函数f(x)=x2-x+1在区间[-3,0]上的最值为()

A.最大值为13，最小值为34

B.最大值为1，最小值为4

C.最大值为13，最小值为1

D.最大值为-1，最小值为-7

[答案] A

[解析] ∵y=x2-x+1，y=2x-1，

令y=0，x=12，f(-3)=13，f12=34，f(0)=1.

5.函数y=x+1-x在(0,1)上的最大值为()

A.2 B.1

C.0 D.不存在

[答案] A

[解析] y=12x-121-x=121-x-xx1-x

由y=0得x=12，在0，12上y0，在12，1上

y0.x=12时y极大=2，

又x(0,1)，ymax=2.

6.函数f(x)=x4-4x (|x|1)()

A.有最大值，无最小值

B.有最大值，也有最小值

C.无最大值，有最小值

D.既无最大值，也无最小值

[答案] D

[解析] f(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1).

令f(x)=0，得x=1.又x(-1,1)

该方程无解，

故函数f(x)在(-1,1)上既无极值也无最值.故选D.

7.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是()

A.5，-15 B.5,4

C.-4，-15 D.5，-16

[答案] A

[解析] y=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1)，

令y=0，得x=2或x=-1(舍).

∵f(0)=5，f(2)=-15，f(3)=-4，

ymax=5，ymin=-15，故选A.

8.已知函数y=-x2-2x+3在[a,2]上的最大值为154，则a等于()

A.-32 B.12

C.-12 D.12或-32

[答案] C

[解析] y=-2x-2，令y=0得x=-1.

当a-1时，最大值为f(-1)=4，不合题意.

当-1

最大值为f(a)=-a2-2a+3=154，

解得a=-12或a=-32(舍去).

9.若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1，k+1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是

()

A.k-3或-11或k3

B.-3

C.-2

D.不存在这样的实数

[答案] B

[解析] 因为y=3x2-12，由y0得函数的增区间是(-，-2)和(2，+)，由y0，得函数的减区间是(-2,2)，由于函数在(k-1，k+1)上不是单调函数，所以有k-1-2

10.函数f(x)=x3+ax-2在区间[1，+)上是增函数，则实数a的取值范围是()

A.[3，+) B.[-3，+)

C.(-3，+) D.(-，-3)

[答案] B

[解析] ∵f(x)=x3+ax-2在[1，+)上是增函数，f(x)=3x2+a0在[1，+)上恒成立

即a-3x2在[1，+)上恒成立

又∵在[1，+)上(-3x2)max=-3

a-3，故应选B.

二、填空题

11.函数y=x32+(1-x)32，01的最小值为______.

[答案] 22

由y0得x12，由y0得x12.

此函数在0，12上为减函数，在12，1上为增函数，最小值在x=12时取得，ymin=22.

12.函数f(x)=5-36x+3x2+4x3在区间[-2，+)上的最大值________，最小值为________.

[答案] 不存在;-2834

[解析] f(x)=-36+6x+12x2，

令f(x)=0得x1=-2，x2=32;当x32时，函数为增函数，当-232时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f(-2)=57，f32=-2834，所以最小值为-2834.

13.若函数f(x)=xx2+a(a0)在[1，+)上的最大值为33，则a的值为________.

[答案] 3-1

[解析] f(x)=x2+a-2x2(x2+a)2=a-x2(x2+a)2

令f(x)=0，解得x=a或x=-a(舍去)

当xa时，f(x)

当x=a时，f(x)=a2a=33，a=321，不合题意.

f(x)max=f(1)=11+a=33，解得a=3-1.

14.f(x)=x3-12x+8在[-3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M-m=________.

[答案] 32

[解析] f(x)=3x2-12

由f(x)0得x2或x-2，

由f(x)0得-2

f(x)在[-3，-2]上单调递增，在[-2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增.

又f(-3)=17，f(-2)=24，f(2)=-8，

f(3)=-1，

最大值M=24，最小值m=-8，

M-m=32.

三、解答题

15.求下列函数的最值：

(1)f(x)=sin2x-x-x

(2)f(x)=x+1-x2.

[解析] (1)f(x)=2cos2x-1.

令f(x)=0，得cos2x=12.

又x2，2，2x，]，

2x=3，x=6.

函数f(x)在-2上的两个极值分别为

f6=32-6，f-6=-32+6.

又f(x)在区间端点的取值为

f2，f-2.

比较以上函数值可得f(x)max=2，f(x)min=-2.

(2)∵函数f(x)有意义，

必须满足1-x20，即-11，

函数f(x)的定义域为[-1,1].

f(x)=1+12(1-x2)-12(1-x2)=1-x1-x2 .

令f(x)=0，得x=22 .

f(x)在[-1,1]上的极值为

f22=22+1-222=2.

又f(x)在区间端点的函数值为f(1)=1，f(-1)=-1，比较以上函数值可得f(x)max=2，f(x)min=-1.

16.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.求f(x)在区间-34，14上的最大值和最小值.

[解析] f(x)的定义域为-32，+.

f(x)=2x+22x+3=4x2+6x+22x+3

=2(2x+1)(x+1)2x+3.

当-320;

当-1

当x-12时，f(x)0，

所以f(x)在-34，14上的最小值为

f-12=ln2+14.

又f-34-f14=ln32+916-ln72-116=ln37+12=121-ln4990，

所以f(x)在区间-34，14上的最大值为 f14=ln72+116.

17.(2016安徽理，17)设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a，xR.

(1)求f(x)的单调区间及极值;

(2)求证：当aln2-1且x0时，exx2-2ax+1.

[分析] 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.

解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值.(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明.

[解析] (1)解：由f(x)=ex-2x+2a，xR知f(x)=ex-2，xR.

令f(x)=0，得x=ln2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (-，ln2) ln2 (ln2，+)

f(x) - 0 +

f(x) 单调递减 ? 2(1-ln2+a) 单调递增 ?

故f(x)的单调递减区间是(-，ln2)，单调递增区间是(ln2，+)，

f(x)在x=ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).

(2)证明：设g(x)=ex-x2+2ax-1，xR，于是g(x)=ex-2x+2a，xR.

由(1)知当aln2-1时，g(x)最小值为g(ln2)=2(1-ln2+a)0.

于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增.

于是当aln2-1时，对任意x(0，+)，都有g(x)g(0).

而g(0)=0，从而对任意x(0，+)，g(x)0.

即ex-x2+2ax-10，故exx2-2ax+1.

18.已知函数f(x)=4x2-72-x，x[0,1].

(1)求f(x)的单调区间和值域;

(2)设a1，函数g(x)=x3-3a2x-2a，x[0,1].若对于任意x1[0,1]，总存在x0[0,1]，使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范围.

[解析] (1)对函数f(x)求导，得

f(x)=-4x2+16x-7(2-x)2=-(2x-1)(2x-7)(2-x)2

令f(x)=0解得x=12或x=72.

当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：

x 0 (0，12)

12

(12，1)

1

f(x) - 0 +

f(x) -72

? -4 ? -3

所以，当x(0，12)时，f(x)是减函数;

当x12，1时，f(x)是增函数.

当x[0,1]时，f(x)的值域为[-4，-3].

(2)g(x)=3(x2-a2).

因为a1，当x(0,1)时，g(x)0.

因此当x(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x[0,1]时有g(x)[g(1)，g(0)].

又g(1)=1-2a-3a2，g(0)=-2a，即x[0,1]时有g(x)[1-2a-3a2，-2a].

任给x1[0,1]，f(x1)[-4，-3]，存在x0[0,1]使得g(x0)=f(x1)成立，

则[1-2a-3a2，-2a][-4，-3].

即1-2a-3a2-4，①-2a-3.②

解①式得a1或a解②式得a32.

又a1，故a的取值范围为132.

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