2015-12-31
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2015届福建省福州八县(市)一中高二上学期期末联考(数学)
1.命题 的否定是 ( )
A.
B.
C.
D.
2.设椭圆 的右焦点与抛物线 的焦点相同,离心率为 ,则此椭圆的方程为( )
A. ; B. ;C. ;D. .
3.ab是方程ax2+by2=c表示双曲线的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.焦点为(0, 6),且与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程是( )
A. B. C. D.
6.已知条件 :x2+x-20,条件 : ,若 是 的充分不必要条件,则 的取值范围可以是( )
A. B. C. D.
7.抛物线型拱桥,当水面距拱顶8 m时,水面宽24 m,若雨后水面上涨2 m,则此时的水面宽约为(以下数据供参考: 1.7, 1.4)( )
A.20.4 m B.10.2 m
C.12.8 m D.6.4 m
8.设F1和F2是双曲线 的两个焦点,点P在双曲线上,且满足F1PF2=90,则△F1PF2的面积是()
A.1? B. ? C.2? D.
9.已知 的值为( )
A. B. C. D.
10.过抛物线y=ax2(a0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则 等于()
A.2a? B. ? C.4a? D.
11已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a、m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是( )
12.已知点 是抛物线 上的一点,设点 到此抛物线的准线的距离为 ,到直线 的距离为 ,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
13. 椭圆 与直线 交于 , 两点,过原点与线段 中点的直线的斜率为 ,则 ( )
A. B. C. D.
14我们把由半椭圆
合成的曲线称作果圆(其中 )。
如图,设点 是相应椭圆的焦点,A1、A2和B1、B2
是果圆与x,y轴的交点,若△F0F1F2是边长为1的
等边三角,则a,b的值分别为 ( )
A. B. C.5,3 D.5,4
15设e1、e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率,P为两曲线的一个公共点,且满足 =0,则 的值为( )
A.1 B. C.2 D.不确定
A.e B.1
二填空题
13若椭圆 =1的离心率为 ,则实数m等于________
14①若xy=1,则x, y互为倒数的逆命题;②相似三角形的周长相等的否命题;③若a-1,则方程x2-2ax+a2+a=0有实根的逆否命题;④若AB=B,则A B的逆否命题。其中正确的命题是__________.(填上你认为正确的命题序号)
15若命题 xR, 使x2+ax+1是真命题,则实数a的取值范围为________
16过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 两点,若
则 的值为
17过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线,且与双曲线的两支相交,求该双曲线离心率的范围。
解析:设双曲线的方程为 , ,渐近线 ,则过 的直线方程为 ,则 ,
代入得 ,
即得 ,
,即得到 。
三.解答题
1. 已知:命题p:方程 有两个不等负实根; 命题q:不等式 的解集是R. 若p或 为真,p且 为假,求实数 的取值范围.
已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 的最小值是 32 .
解:显然 0,又 =4( )8 ,当且仅当 时取等号,所以所求的值为32。(注意联系均值不等式!)
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点,离心率为 .
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)过椭圆C 的右焦点作直线 交椭圆C于 、 两点,交 轴于 点, 若 , ,求证: .
19.(1)解:设椭圆C的方程为 ( ),1分
抛物线方程化为 ,其焦点为 , 2分
则椭圆C的一个顶点为 ,即 3分
由 , ,
所以椭圆C的标准方程为 6分
(2)证明:易求出椭圆C的右焦点 , 7分
设 ,显然直线 的斜率存在,
设直线 的方程为 ,代入方程 并整理,
得 9分
, 10分
又, , , , ,
而 , ,
即 ,
, , 12分
所以
16.已知双曲线 的右焦点为 ,左顶点为 ,
虚轴的两个端点分别为 ,若 在同一个圆上,
则双曲线的离心率等于 .
17.(本小题满分12分)已知p:方程 有两个不等的负实根;q:方程
无实根.若p或q为真,p且q为假,求实数m的取值范围.
16.(本小题满分8分)设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得弦长|AB|=3 .
(1)求k的值;
(2)以弦AB为底边,x轴上的P点为顶点组成的三角形面积为39时,求点P的坐标.
解:(1)设A(x1,y1)、B(x2,y2),由 得4x2+4(k-1)x+k2=0,=16(k-1)2-16k20.
k .
又由韦达定理有x1+x2=1-k,x1x2= ,
|AB|=
= ,
即 .k=-4.
(2)设x轴上点P(x,0),P到AB的距离为d,则
d= ,
S△PBC= 3 =39,
|2x-4|=26.
x=15或x=-11.
P点为(15,0)或(-11,0).
17.已知命题 若非 是 的充分不必要条件,求 的取值范围。
17、解:
而 ,即
已知抛物线 的焦点为 ,准线为 , 与 轴相交于点 ,过 且倾斜角为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点 , ,垂足为 ,则四边形 的面积等于
22.(本小题满分14分)
如图,设P为抛物线 上异于原点O的任意一点,F为抛物线的焦点,直线l:x=1交x轴于点A,过点P作直线l的垂线PM,垂足为M,作射线PO交直线l于点N。
(I)当p=1,|MF|=|MP|时,求点P的横坐标的值;
(II)是否存在p的值使得以MN为直径的圆恒过焦点F,若存在,请加以证明,若不存在,请说明理由;
(III)证明:不论 取何值,当MFN最小时,点P的横坐标总是定值。
22.解:注意到图形的对称性不妨设
(I)(解法1)当P=1时,F(1,0),
4分
(解法2)
(II)(解法1) 6分
因此存在p=1使得以MN为直径的圆恒过抛物线的焦点F。 9分
(解法2)当以MN为直径的圆过F点时,
9分
(解法3)当以MN为直径的圆过F点时,MFNF,
(III)证明:设 , 10分
13分
当且仅当 取得最小值。
所以不论 为何值,当MFN最小时,P点的横坐标总是定值。 14分
平面直角坐标系中, 为坐标原点,给定两点A(1,0)、B(0,-2),点C满足
、 .
(Ⅰ)求点C的轨迹方程;
(Ⅱ)设点C的轨迹与双曲线 交于M、N两点,且以MN为直径的圆过原点,求证 ;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若双曲线的离心率不大于 ,求双曲线实轴长的取值范围.
解:(Ⅰ)设 ,则
,
即点C的轨迹方程为 . 4分
(Ⅱ) 由题意 .
. 6分
.
,
. 9分
(Ⅲ) . .
.
双曲线实轴长的取值范围是 .
5、(2009咸宁市期末)已知A(-2,0)、B(2,0),点C、点D满足
(1)求点D的轨迹方程;
(2)过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆与M、N两点,线段MN的中点到y轴的
距离为 ,且直线l与点D的轨迹相切,求该椭圆的方程。
解:
(1)设C、D点的坐标分别为C(x0,y0),D(x,y),则 =(x0+2,y0), =(4,0)
则 (x0+6,y0),故 2分
又 4分
代入 得x2+y2=1,即为所求点D的轨迹方程 6分
(2)易知直线l与x轴不垂直,设直线l的方程为y=k(x+2) ①
又设椭圆方程为 ②
因为直线l与圆x +y =1相切,故 ,解得k =
将①代入②整理得,
而k = 即
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=
由题意有 求的a =8,经检验,此时△0.
故所求的椭圆方程为 13
22.(2005中科大附中模拟,22)已知双曲线C的中心在原点,抛物线y2=2 x的焦点是双曲线C的一个焦点,且双曲线过点(1, ),
(1)求双曲线的方程;
(2)设直线l:y=kx+1与双曲线C交于A、B两点,试问:
①k为何值时
②是否存在实数k,使A、B两点关于直线y=mx对称(m为常数),若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
解析:(1)由题意设双曲线方程为 =1,
把(1, )代入得 =1. (*)
又y2=2 x的焦点是( ,0),故双曲线的c2=a2+b2= 与(*)联立,消去b2可得4a2-21a2+5=0,(4a2-1)(a2-5)=0.
a2= ,a2=5(不合题意舍去)
于是b2=1,双曲线方程为4x2-y2=1;
(2)由 消去y得
(4-k2)x2-2kx-2=0. (*)
当0 即-2
l与C有两个交点A、B,
①设A(x1,y1),B(x2,y2),
因 ,故 =0即x1x2+y1y2=0,
由(*)知x1+x2= ,x1x2= ,
代入可得 +k2 +k +1=0,
化简得k2=2,k= ,检验符合条件,故当k= 时, .
②若存在实数k满足条件,则必须
由(ⅱ)(ⅲ)得m(x1+x2)=k(x1+x2)+2,
把x1+x2= 代入(ⅰ)得mk=4这与(ⅰ)的km=-1矛盾,故不存在实数k满足条件.
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点,离心率等于
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点,交y轴于M点,若
为定值
22.解:(I)设椭圆C的方程为 ,则由题意知b = 1.
椭圆C的方程为
(II)方法一:设A、B、M点的坐标分别为
易知F点的坐标为(2,0).
将A点坐标代入到椭圆方程中,得 去分母整理得
方法二:设A、B、M点的坐标分别为 又易知F点的坐标为(2,0). 显然直线l存在的斜率,设直线l的斜率为k,则直线l的方程是 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中,消去y并整理得
又
9.P是双曲线 - =1(a0)右支上一点,F1、F2分别是左、右焦点,且焦距为2c,则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为( )
A.a B.b C.c D.a+b-c
解析:利用平面几何的知识及双曲线的定义易知:△PF1F2的内切圆与x轴的切点为双曲线的右顶点.
答案:A
已知椭圆 的左、右两个焦点为F1、F2,离心率为 ,又抛物线C2:y2=4mx(m0)与椭圆C1有公共焦点F2(1,0).
(1)求椭圆和抛物线的方程;
(2)设直线l经过椭圆的左焦点F1且与抛物线交于不同两点P、Q,且满足 ,求实数的取值范围.
解:(1)在椭圆中,c=1, ,
所以 ,
故椭圆方程为 .
抛物线中, ,所以p=2,
故抛物线方程为y2=4x.
(2)设直线l的方程为y=k(x+1)和抛物线方程联立,得
消去y,整理,得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.
因为直线和抛物线有两个交点,
所以k0,(2k2-4)2-4k40.
解得-1
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
x1x2=1.
又 ,
所以
又y2=4x,
由此得4x1=24x2,即x1=2x2.
由x1x2=1,
解得x1=,x2= .
又 ,
所以 .
又因为0
所以 ,
解得0且1.
22.(本小题满分14分)
如图,已知 为椭圆 的左右两个顶点, 为椭圆的右焦点, 为椭圆上异于 点的任意一点,直线 分别交直线 于 点, 交 轴于C点.
(1) 当 时,求直线 的方程;
(2) 求证:当 时以 为直径的圆过F点;
(3) 对任意给定的 值,求 面积的最小值。
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