20162014学年度第一学期期末考试

高 二 数 学(理)

注意事项：

1.本试卷备有答题纸,把答案涂写在答题纸上.

2.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分; 试卷满分为150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

(1)若 ，则下列结论不正确的是

(A)a2

(2)不等式 的解集是

(A) (B) (C) (D)

(3)已知 ， ，且 ，则

(A) (B)

(C) (D)

(4)已知锐角 的面积为 ， ，则角 的大小为

(A) 75 (B) 60 (C) 45 (D)30

(5)已知 , 为实数,则 是 的

(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

(6)在平面直角坐标系 中，已知 顶点 和 ，顶点 在椭圆 上，则 的值是

(A)0 (B)1 (C)2 (D)不确定

(7)在各项都为正数的等比数列 中，首项 ，前三项和为 ，则 =

(A) (B) (C) (D)

(8)已知抛物线 的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点, 且

,则 =

(A) (B) (C) (D)

(9)函数 ，则不等式 的解集是

(A) (B)

(C) (D)

(10)已知双曲线 的中心在原点, 右焦点与抛物线 的焦点重合,则该双曲线的离心率等于

(A) (B) (C) (D)

(11)已知 为等差数列， ， ， 是等差数列 的前 项和，则使得 达到最大值的 是

(A)21 (B)20 (C)19 (D)18

(12)椭圆 的右焦点 ，直线 与 轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是

(A) (B)

(C) (D)

第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.

(13)以椭圆 的顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程为 .

(14)已知实数 ，满足约束条件 则 的最小值为 .

(15)已知向量 =(2，4，x)， =(2，y，2)，若| |=6， ，则x+y的值是 .

(16)正项的等差数列 中， ，数列 是等比数列，且 ，则 ______.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程和演算步骤

(17)(本小题满分10分)

已知 ，命题 函数 在 上单调递减，命题 曲线 与 轴交于不同的两点，若 为假命题， 为真命题，求实数 的取值范围。

(18)(本小题满分12分)

已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列， .

(Ⅰ)求 的值;

(Ⅱ)设 的值。

(19)(本题满分12分)

如图，在直三棱柱 中， ， ， 是 的中点.

(Ⅰ)在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ?若存在，找出点 的位置幷证明;若不存在，请说明理由;

(Ⅱ)求平面 和平面 所成角的大小。

(20)(本题满分12分)

如图所示，某公园预计在一块绿地的中央修建两个相同的矩形的池塘，每个面积为10000米2，池塘前方要留4米宽的走道，其余各方为2米宽的走道，问每个池塘的长宽各为多少米时占地总面积最少?

(21)(本小题满分12分)

设数列 的前 项和为 ,且 数列 满足 ,点 在直线 上， .

(Ⅰ)求数列 ， 的通项公式;

(Ⅱ)设 ，求数列 的前 项和 .

(22)(本小题满分12分)

已知 ，点 满足 ，记点 的轨迹为 .

(Ⅰ)求轨迹 的方程;

(Ⅱ)过点F2(1，0)作直线l与轨迹 交于不同的两点A、B，设 ，若 的取值范围。

20162014学年度第一学期期末考试

高二数学(理)参考答案与评分标准

一、选择题：(1)-(12)CDBBB CCAAD BD

二、填空题：(13) (14)3 (15)1或-3 (16)

三、解答题：

(17)(本小题满分10分)

解： ----------------------(4分)

(1)当p真q假 ----------------------(6分)

(2)当p假q真 ----------------------(8分)

综上，a的取值范围是 ----------------------(10分)

(18)(本小题满分12分)

解：(Ⅰ)由

由b2=ac及正弦定理得

于是

-------------------------(6分)

(Ⅱ)由

由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 得a2+c2=b2+2accosB=5.

----------------(12分)

(19)(本小题满分12分)

解：(Ⅰ)根据题意CA、CB、CC1两两互相垂直

如图：以C为原点， CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系

设AC=BC=CC1=a，则 ，

，

假设在 上存在一点N，使 平面 ，设

所以 ， ，

由 ， ，得：

N在线段 的中点处 -----------------------(6分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知MN平面A1BC，则平面A1BC的一个法向量为 分

取AB中点D，连接CD，易证CD平面A1AB

A1AB的一个法向量 -------------------------(8分)

所以面 和面 所成的角为 . ---------------------(12分)

(20)(本小题满分12分)

解：设池塘的长为x米时占地总面积为S

故池塘的宽为 米 --------------------(2分)

故 --------------------- (6分)

--------------(10分)

答：每个池塘的长为 米，宽为 米时占地总面积最小。---(12分)

(21)(本小题满分12分)

解：(Ⅰ)由 可得 ，两式相减

.

又 ,所以 .

故 是首项为 ，公比为 的等比数列. 所以 . --------(3分)

又由点 在直线 上，所以 .

则数列 是首项为1，公差为2的等差数列.

则 . -------------------------(6分)

(Ⅱ)因为 ，所以 .

则 ,---(8分)

两式相减得：

------------(10分)

所以 . --------------------(12分)

(22)(本小题满分12分)

解：(Ⅰ)由 知，点P的轨迹为以 为焦点，长轴长为 的椭圆

所以

轨迹方程为 . ------------------------(6分)

(Ⅱ)根据题设条件可设直线l的方程为

中，得

设

则由根与系数的关系，得 ①

②

∵ 有

将①式平方除以②式，得

由

---------------------(9分)

∵

又

故

令 ，即

而 ，

----------------------------(12分)