2014年上海市高一下学期数学期末测试题

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一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分;在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知过点和的直线与直线平行，则的值为( A )

A. B. C. D.

2、过点且垂直于直线 的直线方程为( B )

A. B.

C. D.

3、下列四个结论：

⑴两条不同的直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。

⑵两条不同的直线没有公共点，则这两条直线平行。

⑶两条不同直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。

其中正确的个数为( A )

A. B. C. D.

4、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则球的表面积是( B )

A. B. C. D.

5、圆上的点到点的距离的最小值是( B )

A.1 B.4 C.5 D.6

6、若为圆的弦的中点，则直线的方程是( D )

A. B.

C. D.

7、把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为( C )

A. B. C. D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分;把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

8、在空间直角坐标系中，点与点的距离为.

9、方程表示一个圆，则的取值范围是.

10、如图，正方体中，，点为的中点，点在上，若，则线段的长度等于.

11、直线恒经过定点，则点的坐标为

12、一个底面为正三角形，侧棱与底面垂直的棱柱，其三视图如图所示，则这个棱柱的体积为.

【第12题图】 【第13题图】

13、如图，二面角的大小是60，线段在平面EFGH上，在EF上，与EF所成的角为30，则与平面所成的角的正弦值是

三.解答题：本大题共3小题，共35分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

14、(满分11分)某工厂为了制造一个实心工件，先画出了这个工件的三视图(如图)，其中正视图与侧视图为两个全等的等腰三角形，俯视图为一个圆，三视图尺寸如图所示(单位cm);

(1)求出这个工件的体积;

(2)工件做好后，要给表面喷漆，已知喷漆费用是每平方厘米1元，现要制作10个这样的工件，请计算喷漆总费用(精确到整数部分).

【解析】(1)由三视图可知，几何体为圆锥，底面直径为4，

母线长为3，.........................................2分

设圆锥高为，

则........................4分

则 ...6分

(2)圆锥的侧面积，.........8分

则表面积=侧面积+底面积=(平方厘米)

喷漆总费用=元...............11分

15、(满分12分)如图，在正方体中，

(1)求证：;

(2)求直线与直线BD所成的角

【解析】(1)在正方体中，

又，且,

则,

而在平面内，且相交

故;...........................................6分

(2)连接，

因为BD平行，则即为所求的角，

而三角形为正三角形，故，

则直线与直线BD所成的角为.......................................12分

16、(满分12分)已知圆C=0

(1)已知不过原点的直线与圆C相切，且在轴，轴上的截距相等，求直线的方程;

(2)求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程。

【解析】：(1)∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零，设直线方程为.............1分

圆心C(-1,2)到切线的距离等于圆半径，..............3分

即= ...................4分

或..................5分

所求切线方程为：或 6分

(2)当直线斜率不存在时，直线即为y轴，此时，交点坐标为(0,1),(0,3),线段长为2，符合

故直线.................8分

当直线斜率存在时，设直线方程为，即

由已知得，圆心到直线的距离为1，.................9分

则，.................11分

直线方程为

综上，直线方程为，.................12分

必考Ⅱ部分

四、本部分共5个小题，满分50分，计入总分.

17(满分5分)在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，(不包括端点)上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是

18(满分5分)在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线的方程为， 设.有下列四个说法：

①存在实数，使点在直线上;

②若，则过、两点的直线与直线平行;

③若，则直线经过线段的中点;

④若，则点、在直线的同侧，且直线与线段的延长线相交.

上述说法中，所有正确说法的序号是 ② ③ ④

19(满分13分)已知：以点C (t, )(tR , t 0)为圆心的圆与轴交于点O, A，与y轴交于点O, B，其中O为原点.

(1)求证：△OAB的面积为定值;

(2)设直线y = 2x+4与圆C交于点M, N，若OM = ON，求圆C的方程.

【解析】(1)，.

设圆的方程是

此时到直线的距离，

圆与直线相交于两点.............................................10分

当时，圆心的坐标为，，

此时到直线的距离

圆与直线不相交，

不符合题意舍去.....................................11分

圆的方程为............................13分

20(满分13分)如图，四棱锥中， ∥,，侧面为等边三角形. .

(1)证明：

(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值。

【解析】(1)证明：取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2。

连结SE，则

又SD=1，故

所以为直角。

由，得

,所以.

SD与两条相交直线AB、SE都垂直。

所以..........................6分

(II)由知，

作，垂足为F，

则,

作，垂足为G，则FG=DC=1。

连结SG，则

又，,

故，

作，H为垂足，则.

即F到平面SBC的距离为。

(1)若，求直线的方程;

(2)经过三点的圆的圆心是，求线段(为坐标原点)长的最小值.

直线PA与圆M相切，，解得或

直线PA的方程是或........6分

(2)设

与圆M相切于点A，

经过三点的圆的圆心D是线段MP的中点.

的坐标是

设

当，即时，

当，即时，

当，即时

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