一、选择题

1.(2013山东临沂市模拟)函数f(x)=x-2-x的零点个数为(B)

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析:由f(x)=x-2-x=0得x= x,在同一坐标系中作出函数y=x,y= x的图象,由图象可知两函数的交点有1个,即函数f(x)=x-2-x的零点个数为1.故选B.

2.(2013青岛市高三期末检测)若函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则a的取值范围是(B)

(A) ,+∞ (B)(-∞,-1)∪ ,+∞

(C) -1, (D)(-∞,-1)

解析:要使函数在(-1,1)上存在一个零点,则有f(-1)f(1)<0,即(a+1)(-5a+1)<0,所以(a+1)(5a-1)>0,解得a> 或a<-1.故选B.

3.函数f(x)= 的零点个数为(C)

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析:当x≤0时,令x2+2x-3=0,

解得x=-3或x=1(舍去),

当x>0时,令-2+ln x=0,

解得x=e2,

所以函数f(x)有2个零点,

故选C.

4.(2013山东莱州一中月考)函数f(x)=ln x+ex的零点所在的区间是(A)

(A) 0, (B) ,1 (C)(1,e) (D)(e,+∞)

解析:函数f(x)=ln x+ex在(0,+∞)上单调递增,

f =ln + =-1+ >0,结合选项知应选A.

5.函数f(x)= -log2x的零点所在的区间为(C)

(A) , (B) ,1

(C)(1,2) (D)(2,3)

解析:f(x)在(0,+∞)上是减函数,且f(1)=1>0,f(2)= -1=- <0,则f(x)的零点在区间(1,2)内.故选C.

6.(2013年高考湖南卷)函数f(x)=ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为(C)

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析:g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)=ln x与g(x)=(x-2)2的图象(如图).由图可得两个函数的图象有2个交点.故选C.

7.(2013年高考重庆卷)若a

(A)(a,b)和(b,c)内 (B)(-∞,a)和(a,b)内

(C)(b,c)和(c,+∞)内 (D)(-∞,a)和(c,+∞)内

解析:∵a

f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b )>0,

∴f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,故选A.

二、填空题

8.(2013山东枣庄一模 )函数f(x)= 的零点的个数为.

解析:当x≥0时 ,由f(x)=0得x+1=0,此时x=-1不成 立.当x<0时 ,由f(x)=0得x2+x=0,此时x=-1或x=0(不成立舍去).所以函数的零点为x=-1.

答案:1

9.函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区 间(n,n+1)(n∈N)内,则n=.

解析:由于f(1)=-4<0,f(2)=ln 2-1<0,

f(3)=2+ln 3>0,

又f(x)在(0 ,+∞)上为增函数,

所以零点在区间(2,3)内,故n=2.

答案:2

1 0.(2013上海长宁区期末)设a为非零实数,偶函数f(x)=x2+a|x-m|+1在区间(2,3)上存在唯一零 点,则实数a的取值范围是.

解析:因为函数f(x)为偶函数,所以m =0,

所以f(x)=x2+a|x|+1.要使函数在区间(2,3)上存在唯一零点,

则有f(2)f(3)<0,即(4+2a+1)(9+3a+1)<0,

所以(5+2a)(10+3a)<0,解得-

答案: - ,-

11.(2013山东即墨市期末)已知函数f(x)= 且关于x的方程f(x)-a=0有两个实根,则实数a的取值范围是.

解析:f(x)的图象如图,要使方程f(x)-a=0有两个实根,即y=f(x)与y=a的图象有两个交点,0

答案:(0,1]

三、解答题

12.判断函数f(x)=1+4x+x2- x3在区间(-1,1)内零点的个数,并说明理由.

解:∵f(-1)=1-4+1+ =- <0,

f(1)=1+4+1- = >0,

∴f(x)在区间(-1,1)内有零点.

又f'(x)=4+2x-2x2=-2(x+1)(x-2),

当-1

∴f(x)在(-1,1)内单调递增,

因此,f(x)在(-1,1)内有且仅有一个零点.

13.已知函数f(x)=4x+m•2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.

解:f(x)=4x+m•2x+1有且仅有一个零点,

即方程(2x)2+m•2x+1=0仅有一个实根,

设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0仅有一个正实根.

当Δ=0时,m2-4=0,解得m=2或m=-2,

而m=-2时,t=1;

m=2时,t=-1(不合题意,舍去),

∴2x=1,x=0符合题意.

当Δ>0,即m>2或m<-2时,

t2+mt+1=0有两正根或两负根,

即f(x)有两个零点或没有零点.

∴这种情况不符合题意.

综上可知,m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为0.

14.(1)已知f(x)=x2+2mx+3m+4,m为何值时.

①函数有且仅有一个零点;

②函数有两个零点且均比-1大;

(2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.

解:( 1)①f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点

⇔方程f(x)=0有两个相等实根

⇔Δ=0,即4m2-4(3m+4)=0,

即m2-3m-4=0,

∴m=4或m=-1.

②法一设f(x)的两个零点分别为x1,x2,

则x1+x2=-2m,x1•x2=3m+4.

由题意,知

⇔

⇔

∴-5

故m的取值范围为(-5,-1).

法二由题意,知

即

∴-5

∴m的取值范 围为(-5,-1).

(2)令f(x)=0,

得|4x-x2|+a=0,

即|4x-x2|=-a.

令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.

作出g(x)、h(x)的图象.

由图象可知,当0<-a<4,

即-4

即f(x)有4个零点.

故a的取 值范围为(-4,0).