2013届高三数学寒假作业：函数的性质及其应用

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一 基础再现

1.设则__________

2. 函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若,则实数的取值范围是

3.若，则的取值范围是

4.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则的值为

5.定义在上的函数满足()，，则=

6. 已知，则的值

等于 .

7.已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则 当时， .

8.定义在上的偶函数满足：，且在上是增函数，下面关于 的判断：①是周期函数;②=0;③在上是减函数;④在上是减函数.其中正确的判断是 (把你认为正确的判断都填上)

2.答案：当时，∵函数是R上的偶函数，且在上是增函数，在上是减函数，所以若，则，当时，函数是R上的偶函数，且在上增函数，且，实数的取值范围是

评析：本小题主要考查利用函数的单调性的来解函数不等式的问题。

3.解：当时，若，则，

当时，若，则，此时无解!

所以的取值范围是

4.答案：∵，是定义域上的减函数，所以，，

5. 解：令，令;

令，再令得

7.解：当x(0,+) 时，有-x(-,0)，注意到函数f(x) 是定义在 (-,+)上的偶函数，于是，有f(x)=f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4 .从而应填-x-x4.

6. 解析：本小题考查对数函数问题。

8. 【解】：可知注：又(1)已知函数f(x)满足f(logax)= (其中a1,x0),求f(x)的表达式

(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式

设f(x)为定义在R上的偶函数，当x-1时，y=f(x)的图象是经过点(-2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(-1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象

例2已知函数f(x)=,x[1,+，(1)当a=时，求函数f(x)的最小值

(2)若对任意x[1,+, f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围

设m是实数，记M={m|m1},f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+)

(1)证明 当mM时，f(x)对所有实数都有意义;反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则mM

(2)当mM时，求函数f(x)的最小值

(3)求证 对每个mM,函数f(x)的最小值都不小于1

y=f(x)定义域为R,当时,,且对于任意的都有

成立,数列满足且.

求f(0)的值,并证明函数y=f(x)在R上是减函数;

求数列的通项公式;

是否存在正数k,使对一切都成立,若存在,求出k的最大值,并证明,否则说明理由.

辨析：设函数定义在R上，对任意实数m、n，恒有且当

(1)求证：f(0)=1，且当x0时，f(x)

(2)求证：f(x)在R上递减;

(3)设集合A={(x，y)|f(x2)f(y2)f(1)}，B={(x，y)|f(ax-y+2)=1，

aR}，若AB=，求a的取值范围.

四 巩固训练

1.函数的值域是______________.

2.已知在R上是奇函数，且

3.已知函数满足：，，则。

4.设，函数有最大值，则不等式的解集为 。

5.对a,bR,记max|a,b|=函数f(x)=max||x+1|,|x-2||(xR)的最小值是 .

6.设是连续的偶函数，且当x0时是单调函数，则满足的所有x之和为

7.已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为.

(1)若方程有两个相等的实数根，求的解析式;

(2)若函数在区间内单调递减，求的取值范围;

(3)当时，证明方程仅有一个实数根.

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