高中寒假作业：高二数学寒假作业答案解析

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一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1.已知集合 ， ，则 ( C )

A. B. C. D.

2. 设 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 ( A )

A. B. C.1 D.3

3. 已知向量 满足 ，则 ( D )

A.0 B.1 C.2 D.

4.设 是等比数列，则 是数列 是递增数列的( B )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 设m，n是两条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是( B )

A.若 ， ，则 B.若 ， ，则

C.若 ， ，则 D.若 ， ， ，则 [来

6. 函数y=sin(2x+)的图象沿x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能的值为( A )

A. B. C. D.

7.已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 的可能取值为( D )

A. B. C. D.

8.设函数 ，则 的值为( A )

A. B.2014 C.2013 D.0

9.已知F是双曲线 的左焦点,A为右顶点，上下虚轴端点B、C，若FB交CA于D，且 ，则此双曲线的离心率为( B )

A . B. C. D.

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10.球O为边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，P为球O的球面上动点，M为B1C1中点， ，则点P的轨迹周长为( D )

A . B. C. D.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

.

当平面上动点 到定点 的距离满足 时，则 的取值范围是 ▲ .

16.如图，在扇形OAB中， ，C为弧AB上的一个动点.若 ，则 的取值范围是 ▲ .

三、解答题(本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)

17. (本题满分10分)

在 中，角 所对的边为 ，且满足

(Ⅰ)求角 的值;

(Ⅱ)若 且 ，求 的取值范围.

18.(本题满分10分)

已知数列 的首项 ， .

(Ⅰ)求证：数列 为等比数列;

(Ⅱ)若 ，求最大的正整数 .

19.(本题满分10分)

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如图所示，平面 平面 ，且四边形 为矩形，四边形 为直角梯形， ， ， ， .

(Ⅰ)求证 平面 ;

(Ⅱ)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.

四边形 为直角梯形，四边形 为矩形，

， ，又 ，

平面 ， ，

又 平面 平面 ，

为平面 与平面 所成锐二面角的平面角.

， .

即平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .

(法二)(Ⅰ) 四边形 为直角梯形，四边形 为矩形，

， ，

又 平面 平面 ，且

， 取 ，得 .

平面 ，

平面 一个法向量为 ，

设平面 与平面 所成锐二面角的大小为 ，

则 .

因此，平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .

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20.(本题满分10分)

已知椭圆 的两个焦点分别为 ，且 ，点 在椭圆上，且 的周长为6.

(Ⅰ)求椭圆 的方程;

(Ⅱ)若点 的坐标为 ，不过原点 的直线 与椭圆 相交于 不同两点，设线段 的中点为 ，且 三点共线.设点 到直线 的距离为 ，求 的取值范围.

解：(Ⅰ)由已知得 ，且 ，解得 ，又

所以椭圆 的方程为

(Ⅱ) 当直线 与 轴垂直时，由椭圆的对称性可知：

点 在 轴上，且原点 不重合，显然 三点不共线，不符合题设条件.

所以可设直线 的方程为 ，

由 消去 并整理得： ①

则 ，即 ，设 ，

且 ，则点 ，

因为 三点共线，则 ，即 ，而 ，所以

此时方程①为 ，且

因为

所以

21. (本题满分12分)

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已知 是不全为 的实数，函数 ，

，方程 有实根，且 的实数根都是 的根，反之， 的实数根都是 的根.

(Ⅰ)求 的值;

(Ⅱ)若 ，求 的取值范围.

解(Ⅰ)设 是 的根，那么 ，则 是 的根，则 即 ，所以 .

(Ⅱ) ，所以 ，即 的根为0和-1，

①当 时，则 这时 的根为一切实数，而 ，所以 符合要求.

当 时，因为 =0的根不可能为0和 ，所以 必无实数根，

②当 时， = = ，即函数 在 ， 恒成立，又 ，所以 ，即 所以 ;

③当 时， = = ，即函数 在 ， 恒成立，又 ，所以 ，

，而 ，舍去

综上，所以 .

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