以下是查字典数学网为您推荐的二元一次方程组教案，希望本篇文章对您学习有所帮助。

二元一次方程组

二元一次方程组是从实际生活中抽象出来的数学模型，它是解决实际问题的有效途径，更是今后学习的重要基础.它是在一元一次方程的基础上来进一步研究末知量之问的关系的，教材通过实例引入方程组的概念，同时引入方程组解的概念，并探索二元一次方程组的解法，具体研究二元一次方程组的实际应用.

小结2 本章学习重难点

【本章重点】会解二元一次方程组，能够根据具体问题中的数量关系列出方程组.

【本章难点】列方程组解应用性的实际问题.

【学习本章应注意的问题】

在复习解一元一次方程时，明确一元一次方程化简变形的原理，类比学习二元一次方程组、三元一次方程组的解法，同时在学习二元一次方程组、三元一次方程组的解法时，要认真体会消元转化的思想原理，在学习用方程组解决突际问题时，要积极探究，多多思考，正确设未知数，列出恰当的方程组，从而解决实际问题.

小结3 中考透视

在考查基础知识、基本能力的题目中，单独知识点考查类题目及多知识点综合考查类题目经常出现，在实际应用题及开放题中大量出现.所以在学习本章内容的过程中一定要结合其他相应的知识与方法，本章是中考的重要考点之一，围绕简单的二元一次方程组的解法命题，能根据具体问题的数量关系列出二元一次方程组，体会方程是描述现实世界的一个有效模型，并根据具体问题的实际意义用观察、体验等手段检验结果是否合理.考试题型以选择题、填空题、应用题、开放题以及综合题为主，高、中、低档难度的题目均有出现，占4～7分.

知识网络结构图

专题总结及应用

一、知识性专题

专题1 运用某些概念列方程求解

【专题解读】在学习过程中，我们常常会遇到二元一次方程的未知数的指数是一个字母或关于字母的代数式，让我们求字母的值，这时巧用定义，可简便地解决这类问题

例1 若 =0,是关于x,y的二元一次方程,则a=_______,b=_______.

分析 依题意,得 解得

答案:

【解题策略】准确地掌握二元一次方程的定义是解此题的关键.

专题2 列方程组解决实际问题

【专题解读】方程组是描述现实世界的有效数学模型,在日常生活、工农业生产、城市规划及国防领域都有广泛的应用，列二元一次方程组的关键是寻找相等关系，寻找相等关系应以下两方面入手;(1)仔细审题，寻找关键词语;(2)采用画图、列表等方法挖掘相等关系.

例2 一项工程甲单独做需12天完成，乙单独做需18天完成，计划甲先做若干后离去，再由乙完成，实际上甲只做了计划时间的一半因事离去，然后由乙单独承担，而乙完成任务的时间恰好是计划时间的2倍，则原计划甲、乙各做多少天?

分析 由甲、乙单独完成所需的时间可以看出甲、乙两人的工作效率，设总工作量为1，则甲每天完成 ，乙每天完成 .

解：设原计划甲做x天，乙做y天，则有

解这个方程组，得

答：原计划甲做8天，乙做6天.

【解题策略】若总工作量没有具体给出，可以设总工作量为单位1，然后由时间算出工作效率，最后利用工作量=工作效率工作时间列出方程.

二、规律方法专题

专题3 反复运用加减法解方程组

【专题解读】反复运用加减法可使系数较大的方程组转化成系数较小的方程组，达到简化计算的目的.

例3 解方程组

分析 当方程组中未知数的系数和常数项较大时,注意观察其特点,不要盲目地利用加减法或代入法进行消元,可利用反复相加或相减得到系数较小的方程组,再求解.

解:由①-②,得x-y=1,③

由①+②,得x+y=5,④

将③④联立,得

解得 即原方程组的解为

【解题策略】此方程组属于 型,其中| - |=k|a-b|, + =m|a+b|,k,m为整数.因此这样的方程组通过相加和相减可得到 型方程组,显然后一个方程组容易求解.

专题4 整体代入法解方程组

【专题解读】结合方程组的形式加以分析,对于用一般代入法和加减法求解比较繁琐的方程组,灵活灵用整体代入法解题更加简单.

例4 解方程组

分析 此方程组中,每个方程都缺少一个未知数,且所缺少的未知数又都不相同,每个未知数的系数都是1,这样的方程组若一一消元很麻烦,可考虑整体相加、整体代入的方法.

解:①+②+③+④,得3(x+y+z+m)=51,

即x+y+z+m=17,⑤

⑤-①,得m=9,⑤-②,得z=5.

⑤-③,得y=3,⑤-④,得x=0.

所以原方程组的解为

专题5 巧解连比型多元方程组

【专题解读】连比型多元方程组通常采用设辅助未知数的方法来求解.

例5 解方程组

解:设 ,

则x+y=2k,t+x=3k,y+t=4k,

三式相加,得x+y+t= ,

将x+y+t= 代入②,得 =27,

所以k=6,所以

②-⑤,得x=3,②-④,得y=9,②-③,得t=15.

所以原方程组的解为

三、思想方法专题

专题6 转化思想

【专题解读】对于直接解答有难度或较陌生的题型，可以根据条件，将其转化成易于解答或比较常见的题型.

例6 二元一次方程x+y=7的非负整数解有 ( )

A.6个

B.7个

C.8个

D.无数个

分析 将原方程化为y=7-x,因为是非负整数解,所以x只能取0,1,2,3,4,5,6,7,与之对应的y为7,6,5,4,3,2,1,0,所以共有8个非负整数解.故选C.

【解题策略】对二元一次方程求解时,往往需要用含有一个未知数的代数式表示出另一个未知数,从而将求方程的解的问题转化为求代数式的值的问题.

专题7 消元思想

【专题解读】 将未知数的个数由多化少,逐一解决的思想即为消元思想.

例7 解方程组

分析 解三元一次方程组可类比解二元一次方程组的代入法和加减法,关键是消元，把三元变为二元，再化二元为一元，进而求解.

解法1:由③得z=2x+2y-3.④

把④代入①,得3x+4y+2x+2y-3=14,

即5x+6y=17.⑤

把④代入②,得x+5y+2(2x+2y-3)=17,

即5x+9y=23.⑥

由⑤⑥组成二元一次方程组 解得

把x=1,y=2代入④,得z=3.

所以原方程组的解为

解法2:由①+③,得5x+6y=17.⑦

由②+③2,得5x+9y=23.⑧

同解法1可求得原方程组的解为

解法3:由②+③-①,得3y=6,所以y=2.

把y=2分别代入①和③,得 解得

所以原方程组的解为

【解题策略】消元是解方程组的基本思想,是将复杂问题简单化的一种化归思想,其目的

是将多元的方程组逐步转化为一元的方程,即三元 二元 一元.

2011中考真题精选

1. (2011四川凉山，3，4分)下列方程组中是二元一次方程组的是( )

A. B. C. D.

考点：二元一次方程组的定义.

分析：组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程.

解答：解：A、第一个方程值的xy是二次的，故此选项错误;

B、第二个方程有 ，不是整式方程，故此选项错误;

C、含有3个未知数，故此选项错误;

2. 下列方程组中是二元一次方程组的是( )

A. B. C. D.

考点：二元一次方程组的定义.

分析：组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程.

解答：解：A、第一个方程值的xy是二次的，故此选项错误;

B、第二个方程有 ，不是整式方程，故此选项错误;

C、含有3个未知数，故此选项错误;

3. (2011河北，19，8分)已知 是关于x，y的二元一次方程 的解，求(a+1)(a-1)+7的值.

考点：二次根式的混合运算;二元一次方程的解。

专题：计算题。

分析：根据已知 是关于x，y的二元一次方程 的解，代入方程即可得出a的值，再利用二次根式的运算性质求出.

解答：解：∵ 是关于x，y的二元一次方程 的解，

4. (2011湖南益阳,2,4分)二元一次方程x﹣2y=1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是( )

A. B.

C. D.

考点：二元一次方程的解.

专题：计算题.

分析：将x.y的值分别代入x﹣2y中，看结果是否等于1，判断x.y的值是否为方程x﹣2y=1的解.

解答：解：A.当x=0，y=﹣ 时，x﹣2y=0﹣2(﹣ )=1，是方程的解;

B.当x=1，y=1时，x﹣2y=1﹣21=﹣1，不是方程的解;

C.当x=1，y=0时，x﹣2y=1﹣20=1，是方程的解;

5. (2011广东肇庆，4，3分)方程组 的解是( )

A、 B、 C、 D、

考点：解二元一次方程组。

专题：计算题。

分析：此题运用加减消元法解方程组，由①+②先求出x，再代入求出y.

解答：解： ，

①+②得：

3x=6，

(2011宁夏，4，3分)一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数.设个位数字为x，十位数字为y，所列方程组正确的是( )

A、 B、

C、 D、

考点：由实际问题抽象出二元一次方程组。

专题：数字问题。

分析：设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，则两位数可表示为10y+x，对调后的两位数为10x+y，根据题中的两个数字之和为8及对调后的等量关系可列出方程组，求解即可.

解答：解：设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据题意得：

(2011台湾9，4分)在早餐店里，王伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元.李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元.若馒头每颗x元，包子每颗y元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系( )

A、 B、

C、 D、

考点：由实际问题抽象出二元一次方程组。

专题：应用题。

分析：设馒头每颗x元，包子每颗y元，根据题意王伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元，可列式为5x+3y=52，李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元，可列式为0.9(11x+5y)=90，联立方程即可得到所求方程组.

解答：解：设馒头每颗x元，包子每颗y元，

伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元，可列式为5x+3y=50+2，

李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元，

(2011台湾，30，4分)某鞋店有甲.乙两款鞋各30双，甲鞋一双200元，乙鞋一双50元.该店促销的方式：买一双甲鞋，送一双乙鞋;只买乙鞋没有任何优惠.若打烊后得知，此两款鞋共卖得1800元，还剩甲鞋x双.乙鞋y双，则依题意可列出下列哪一个方程式?( )

A.200(30-x)+50(30-y)=1800 B.200(30-x)+50(30-x-y)=1800

C.200(30-x)+50(60-x-y)=1800 D.200(30-x)+50[30-(30-x)-y]=1800

考点：二元一次方程的应用。

专题：方程思想。

分析：由已知，卖出甲鞋(30-x)双，则送出乙鞋也是(30-x)双，那么乙卖出[30-(30-x)-y]双，卖出甲鞋的钱数加上卖出乙鞋的钱数就等于1800元，由此得出答案.

解答：解：已知还剩甲鞋x双，则则卖出甲鞋的钱数为：200(30-x)元，

由题意则送出乙鞋：(30-x)双，

那么卖出乙鞋的钱数为505[30-(30-x)-y]元，

(2011台湾，31，4分)如图，将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形.若灰色长方形之长与宽的比为5：3，则AD：AB=?( )

A.5：3 B.7：5 C.23：14 D.47：29

考点：二元一次方程组的应用。

专题：计算题。

分析：可设灰色长方形的长是5x，宽是3x，因为将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形，可表示出灰色长方形的长和宽，进而求出大长方形的长和宽，从而可求解.

解答：解：设灰色长方形的长是5x，宽是3x，

2(5x+3x)+4=148

x=9

(2011新疆乌鲁木齐，4，4)甲仓库乙仓库共存粮450吨，现从甲仓库运出存粮的60%，从乙仓库运出存粮的40%.结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30吨.若设甲仓库原来存粮x吨，乙仓库原来存粮y吨，则有( )

A、 B、

C、 D、

考点：二元一次方程组的应用。

专题：应用题。

分析：要求甲，乙仓库原来存粮分别为多少，就要先设出未知数，找出题中的等量关系列方程求解.题中的等量关系为：从甲仓库运出存粮的60%，从乙仓库运出存粮的40%.结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食30吨，和甲仓库乙仓库共存粮450吨.

解答：解：设甲仓库原来存粮x吨，乙仓库原来存粮y吨.

本题的等量关系是：从甲仓库运出存粮的60%，从乙仓库运出存粮的40%.结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食30吨，和甲仓库乙仓库共存粮450吨.列出方程组，再求解.

(2011柳州)把方程2x+y=3改写成用含x的式子表示y的形式，得y= 3﹣2x .

考点：解二元一次方程。

专题：计算题。

分析：本题是将二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，可先移项，再系数化为1即可.

解答：解：把方程2x+y=3移项得：

(2011湖南长沙，6，3分)若 是关于 的二元一次方程 的解，则 的值为( )

A. B. C.2 D.7

考点：一元一次方程 二元一次方程组的解

专题：二元一次方程

(2011湖南长沙，23，9分)某工程队承包了某标段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进.已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进了45米.

(1)求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米?

(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2米，乙组平均每天能比原来多掘进0.3米.按此施工速度，能够比原来少用多少天完成任务?

考点：二元一次方程组的应用

专题：二元一次方程组

分析：(1)本题的两个数量关系是：①甲组工作量=乙组工作量+0.6;②甲、乙两组的工作量之和5=45.为此，设两个未知数，列二元一次方程组即可求解.

(2)求出剩余的工作量，用两种工作效率去工作时的工作时间，两者相减即可.

解答：(1)设甲、乙班组平均每天掘进x米，y米，根据题意，得 ，

解得

甲班组平均每天掘进4.8米，乙班组平均每天掘进4.2米.

(2)设按原来的施工进度和改进施工技术后的进度分别还需a天，b完成任务，则

a=(1755-45)(4.8+4.2)=190(天);b=(1755-45)(4.8+4.2+0.2+0.3)=180(天)，a-b=10(天)

本题中的第二个问题，利用剩余工作量用两种合效率去做，求其工作时间差即可求解，这种方法较为简洁.

(2011株洲19，)食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输.某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶?

考点：二元一次方程组的应用;一元一次方程的应用。

专题：工程问题。

分析：本题需先根据题意设出未知数，再根据题目中的等量关系列出方程组，求出结果即可.

解答：解：设A饮料生产了x瓶，B饮料生产了y瓶，依题意得：

(2011吉林长春，17，5分)在长为10m，宽为8m的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示.求小矩形花圃的长和宽.

考点：二元一次方程组的应用.

分析：由图形可看出：小矩形的2个长+一个宽=10cm，小矩形的2个宽+一个长=8cm，设出长和宽，列出方程组即可得答案.

解答：解：设小矩形的长为xcm，宽为ycm，由题意得：

(2011湖南衡阳，22，8分)李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩?

考点：二元一次方程组的应用。

专题：应用题;方程思想。

分析：由题意得出两个相等关系为：甲、乙两种蔬菜共10亩和共获利18000元，依次列方程组求解.

解答：解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：

(2011广东湛江,26,12分)某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：

A种产品 B种产品

成本(万元∕件) 3 5

利润(万元∕件) 1 2

(1)若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件?

(2)若工厂投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案?

(3)在(2)条件下，哪种方案获利最大?并求最大利润.

考点：一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用.

分析：(1)设A种产品x件，B种为(10-x)件，根据共获利14万元，列方程求解.

(2)设A种产品x件，B种为(10-x)件，根据若工厂投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，列不等式组求解.

(3)从利润可看出B越多获利越大.

解答：解：(1)设A种产品x件，B种为(10-x)件，

x+2(10-x)=14，x=6，

A生产6件，B生产4件;

(2)设A种产品x件，B种为(10-x)件，

，36.

方案一：A 3件 B生产7件.

方案二：A生产4件，B生产6件.

方案三：A生产5件，B生产5件;

综合验收评估测试题

(时间：120分钟 满分：120分)

一、选择题

1.下列方程中，属于二元一次方程的是 ( )

A.x+y-1=0

B.xy+5=-4

C.3 +y=89

D.x+ =2

2.方程3x-4y=10的一个解是 ( )

A. B. C. D.

3.下列方程中，与方程3x+2y=5所组成的方程组的解是 的是 ( )

A.x-3y=4

B.4x+3y=4

C.y+x=1

D.4x-3y=2

4.若关于x,y的方程组 的解是 则|m-n|的值为 ( )

A.1

B.3

C.5

D.2

5.若关于x,y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值为 ( )

A.-

B.

C.

D.-

6.若 ，则 ( )

A. B. C. D.

7.已知-0.5 与 是同类项，那么 ( )

A. B. C. D.

8.如果一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是6，那么这样的正整数有 ( )

A.4个

B.5个

C.6个

D.7个

9.某年级学生有246人,男生人数比女生人数的2倍少2人,求男生、女生各有多少人.若设男生有x人，女生有y人，则可列方程组 ( )

A. B. C. D.

10.6年前，A的年龄是B的年龄的3倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，则A现在的年龄是 ( )

A.12岁

B.18岁

C.24岁

D.30岁

二、填空题

11.在3x-2y=5中,若y=-2,则x=_______.

12.由4x-3y+6=0,可以得到用y表示x的式子为_______.

13.若 是方程3mx-2y-1=0的解,则m=________.

14.已知 是二元一次方程组 的解，则a-b的值为______.

15.若 ，则3x+4y=_______.

16.若 则x,y之间的关系式为________.

17.已知方程组 的解是关于x,y的方程组 的解，则m=___,n=___.

18.若 则x：y：z=_________.

19.已知 (x,y,z0)，则 的值为_______.

20.如图8-5所示，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的 ，另一根露出水面的长度是它的 .两根铁棒长度之和为55 cm，此时木桶中水的深度是________cm.

三、解答题

21.已知ax+by=16的两个解为 和 求a,b的值.

22.已知方程组 的解中的x和y互为相反数，求a的值.

23.暑假期间，小明到父亲经营的小超市参加社会实践活动.一天小明随父亲从银行换回来58张共计200元的零钞用于顾客付款时找零.细心的小明清理了一下,发现其中面值为1元的有20张,面值为10元的有7张,剩下的均为2元和5元的钞票.你能否用所学的数学方法算出2元和5元的钞票各有多少张?请写出演算过程.

24.某人若买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹅蛋共需用18.5元;若买4个鸡蛋、2个鸭蛋、3个鹅蛋共需用6.2元;若买6个鸡蛋、5个鸭蛋、2个鹅蛋共需用8元.求鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋每个多少元.

25.如图8-6所示，8块相同的长方形地砖拼成了一个矩形图案(地砖间的缝隙忽略不计)，求每块地砖的长和宽.

参考答案

1.A[提示：含x,y项的次数是1.]

2.B[提示:代入后,左边=右边=10.]

3.C[提示:代入被选答案中,看方程是否成立,C中左边=1=右边.]

4.D

5.B

6.C[提示: 解得 ]

7.D[提示:根据同类项定义,得 解得 ]

8.C[提示:设十位上的数字为x,个位上的数字为y,则有x+y=6,x,y为整数,且x0,所以

]

9.D[提示:共有246人,即x+y=246,男生人数比女生人数的2倍少2人,即x=2y-2.]

10.C[提示:设现在A,B的年龄分别是x岁,y岁,则6年前分别为(x-6)岁,(y-6)岁,故有

解得 ]

11. [提示:把y=-2代入原方程.]

12.x= [提示:移项,系数化为1.]

13. [提示:把 代入方程中,得3m-4-1=0,m= .]

14.-1

15.8[提示:原方程组变形为 两方程相加,得3x+4y=8.]

16.y=2x[提示:把 代入 中,得y=2x.]

17.2 1 [提示:由第一个方程组,得 代入第二个方程组,得 解得 ]

18.1:2:1[提示:把z看成常数,解得 所以x:y:z=z:2z:z=1:2:1.]

19.1[提示:把z看成常数,解得 则所求式子= ]

20.20

21.解:把两组解分别代入方程中,得 解得

22.解:由题意,得 解得 将 代入ax+y=3中,得a=4.

23.解:设2元的钞票有x张,5元的钞票有y张,则根据题意,得

解得

24.解:设鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋每个分别为x元，y元，z元，则有 解得

答：鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋每个分别为0.5元，0.6元，1元.

25.解：设每块地砖的长为x厘米，宽为y厘米，由题意，得 解得

答：每块地砖的长和宽分别为45厘米、15厘米.