1994年冬天的一个下午，北京中关村五所大楼高等科学科技研究中心报告厅内， 一位年逾70 的大科学家正在作一场关于分形(fractal)的报告。此人戴着一双宽大的眼镜，圆滚的“将军 肚儿”微微向前挺起，颇像复平面上那个经过渲染的宝葫芦(指M集)。他拖着浓重的法国口音，用英语自信地讲述着分形几何学的最新进展，这门学科起初几乎是他一人独自开创的。他不时 打量一下前排就坐的他的妻子和来自中国科学院理论物理所与北京大学的众多非线性科学专家，当然还有 数量更多的年轻研究生们，这些人没准会成为他的门徒。主讲人时而觉得太冷，急忙穿上外套,时而觉得 太热，又脱掉外套，在半个小时内竟这样重复了三四次之多。这多少有些奇怪的举止惹得学生小声议论起 来，而负责报告厅空调设备的工作人员则局促不安地随着报告人的每次穿脱外套，走向室内两个高大立式空调前扭动几下旋扭。

此人便是长期在IBM沃森中心供职、赫赫有名的芒德勃罗(Benoit B.Mandelbrot, 1924- )教授，那位在多种学科“流浪”了20余年才得到学界广泛承认的分形之父，那位 近些年来不断 得到各种荣誉和奖励但也到处与同行发生争执的人物。

他只是个性有些特别，对中国以及中国人并无恶意。1996年8月他再次来访中国 参加李政道主持的题为“简单与复杂”的国际学术研讨会。对于中国文化和文字他还有几分向往，他称中 国文字个个是图形，这正合他的几何学思维方式，只可惜一个也不认识。据说，经他从中斡旋，他的名著 《大自然的分形几何学》(The Fractal Geometry of Nature,1982)中 译本在中国首次印行可以免收版税。但遗憾的是，时过多年，译 本还未面世。大约9年前就 听说译本不久行将出版。(上海远东出版社1999年已经出版此书中译本。)

家庭背景与成长经历

波努瓦·芒德勃罗1924年11月20日生于波兰华沙，祖籍是立陶宛犹太人。据一位 语言学家讲，在立陶宛语中“Man”读作“芒”，所以这里不译作“曼”。波努瓦的父亲是成衣商，母 亲是牙科医生 。

出于对地缘政治现实的警觉，1936年在他11周岁时举家迁往巴黎。这也部分是受 其叔父佐列 姆·芒德勃罗伊(Szolem Mandelbrojt,1899-1983)的吸引，当时佐列姆是法国的一位数 学家。佐列姆通过阅读庞加莱 (Jules-Henri Poincare，1854-1912)和阿达马(Jacques-Salomon Hadamard,1865-1963)的著作学会法语，他到法国是因为法国是经典分析的摇 篮。

芒德勃罗的父亲很骄傲已经将佐列姆扶养大，佐列姆是父亲最小的弟弟，比他小 16岁之多。 父亲是位很重学问的人，祖上几代人也都是学者。“事实上家庭里每个人都像一位学者或者 期望成为一位学者，至少部分时间是这样。”［４］不幸的是，许多学者都忍饥挨饿。

芒德勃罗的父亲是很实际的人，他发现最好能拥有一个固定职业。他的工作是做 衣服并卖衣服，他并不喜欢这个职业，然而他认为：一个学者的独立性和幸福最好建筑在一份具有不同来源的稳定收入基础之上，特别是这种收入对于世界性大灾难不能过分敏感。成衣商这种职 业当然是一 个好的选择，因为无论什么时候人们都得穿衣服!

中学时，波努瓦的数学与科学成绩在班上相当出色。高中毕业后，由于家庭生活 拮据，加上 他不喜欢大城市，于是在家里待了一段时间，没有接着读高等院校。芒德勃罗解释说，这段时间里他“拎着一些破旧而过时的书籍，以他自己的方式学习着，自我猜测着许多事情，做 任何事均不 采取理性或者半理性的方式，但这样却培养了自己极大的独立性和自信心”。

当问及一生中何人、何事对他影响最大时，芒德勃罗说，“对我影响最大的是我 的一个叔叔 ［佐列姆］。作为一个杰出的数学家，这位叔叔以矛盾的方式影响着我。对我影响最大的事件则是本世纪的［战争］灾难，它们不断影响着我接受正规的学校教育。我所受到的教育基 本上是浑沌 的。”

“1929年，当时我5岁，我叔叔佐列姆·芒德勃罗伊成为克莱蒙特-弗兰特 (Clermont-Ferr and)大学的教授。当我13岁时他升任阿达马的继承人位置，成为巴黎法兰西学院勒贝格(Hen ri Leon Lebesgue,1875-1941)的同事。因此，我总是能够分享父辈们生活中以及创建新数学过程中遇到的许多事情。阿达马、勒贝格、蒙泰尔(Paul Montel,1876-1975)及当儒瓦(Arnaud Denjoy,1884-1974)都是关系不太远的叔伯。当我还是一个小孩子时，就曾学着拼写高斯的名字，为我叔叔写的一本书寻找印刷错误。”

第二次世界大战爆发了，在纳粹到来之前，全家不得不扔掉一切，只拎了几只箱 子，加入难 民潮，一起从巴黎向南涌到逃难的马路上。最后到了土湟(Tulle)镇。芒德勃罗的经历与另一位浑沌探索者利比查伯(Albert Libchaber，法国实验物理学家，用小盒中的氦对流实验 验证了周期倍 化分岔)相仿。利比查伯是波兰犹太人的儿子，战争中也采取了与芒德勃罗相似的办法得以幸存。

1944年，芒德勃罗以班级第一名的身分通过了法国著名的“两校”入学考试,被 高等师范学校录取。“我20岁时，尽管完全缺乏正式准备，在盛大的法国考试中却表现极佳。我叔叔想当然地认为我这个有天赋的侄儿准走他的道路，将来搞数学研究。”这两校指 “高等师范学校” (Ecole Normale Superieure)和“综合工科学校”(Ecole Polytec hnique)，名字在今天听起来，远比不上我们熟知的一堆大学，但却是法国最好的大学，也 属于 世界上最有名气的大学。当时这两校每年招生人数极少，考试也出了名地艰难,考试持续一个月之久。芒德勃罗回忆说，当时他的代数与分析基础并不好，但几何直觉不错，考试 时他总是设 法将代数与分析问题化成几何问题，巧妙地将它们解决，他称此为合法性“作弊 ”(cheating)。芒氏虽然考得不错，但他对法国教育中的处处考试、处处打分的习惯表示不 满，他曾嘲 笑道：“如果法国想取得国际象棋世界冠军，最好的办法也许是在综合工科学校里讲授国际象棋”。

芒德勃罗与其叔叔佐列姆对数学有完全不同的口味。叔叔佐列姆是一位非常经典 的分析学家 ，而波努瓦·芒德勃罗更倾向于几何，他称自己为几何学家。叔叔佐列姆认为几何是已死掉的学科，只对小孩子学数学还有一些意义，人们只有超越它才能取得天才的学术贡献。但是 芒德勃罗不 相信这种观念，也不喜欢分析学派的那种“高雅”风格。

佐列姆的愿望终于落空了。他始终搞不明白小芒德勃罗究竟出了什么问题，于是 对他做什么 不再感兴趣了。不过，他们还是朋友。叔叔佐列姆对芒德勃罗的工作和生活有很大负面影响。

早在1914-1918年的时候，芒德勃罗的父亲希望聪明的弟弟佐列姆主修他向往的 领域——化学工程(约翰·冯·诺伊曼的父亲也希望儿子学习化工)。1939-1945年风波过后，父亲担心 弟弟的成功只 是侥幸，这次让儿子波努瓦·芒德勃罗将来作一名工程师。“因为我对所谓的 ‘几何学之死’不以为然，又因为我不喜欢以理科作替代，于是接受了父亲的建议，我特别 让自己离数 学越远越好。”

由于不喜欢布尔巴基学派(解释见后文)的数学，芒德勃罗在高等师范学校念了没 几天，就转 到了综合工科学校。1947年芒德勃罗从法国综合工科学校毕业。1948年获美国加州理工大学硕士学位；1952年获巴黎大学博士学位。随后几年他不断在几个学科中游荡，先后“闯入” 过物理学、 经济学、生理学、语言学和其他一些似乎毫不相关的学科。他喜欢用“intellec tual wanderer”(有知识的流浪汉)、“wandering around”(游荡)等字眼描写自己的学术 生涯和人生经 历。

芒德勃罗的博士学位论文显示了其从事交叉学科研究的才能。论文分两部分，第 一部分采用 数学理论研究词汇中字母的分布规律；第二部分研究热力学。将不同学科中的理论有机地组织一起，用于研究某一个特定问题，这代表着芒德勃罗科学研究工作的特色。

到美国后，他最先是作为麻省理工学院的一名研究助理(research associate),1958成为约 克郡高地沃森研究中心(T.J.Waston Research Center，IBM的一个研 究基地)物理部研究人员(staff member)。

芒德勃罗曾在日内瓦大学(1955-1957)，法国里尔(Lille)大学及综合工科学校 (1957-1958) 任数学讲师。曾任耶鲁大学罗宾逊(Abraham Robinson)数学科学副教授，麻省理工学院经济 学讲师和访 问教授及应用数学访问教授，哈佛大学经济学、应用数学与数学访问教授，耶鲁大学工学访问教授，爱因斯坦医学院生理学访问教授，巴黎沙特(Paris-Sud)大学数学访问 教授。1987年 成为耶鲁大学数学教授。

芒德勃罗因创造了原来根本不存在的分形学科而一举成名。1975年以法文出版《 分形对象： 形、机遇与维数》(Les Objets Fractals:Forme,Hasard et Dimension)，1977年以英文出版《分形：形、机遇与维数》 (Fractals:Form,Chance and Dimension)，1982年出 版《大自然的分形几何学》。最后一部影响最大，它是分形学科的宣言书， 包罗万象，显示 了将分形用于自然现象描述的重要性。到目前为止他一共写过这三部书，后面每一部都 是对前一部的修订和增补，其中相当部分是重写的。他对自己的专著的描述用词是：“普及性的 ”、“随笔 ”(Essay)、“宣言书”、“从头到尾都是序言”。最后一句是仿达西·汤普森 (D‘Arcy Thompson,1860-1948)，汤普森曾写过一部巨著《论生长与形式》，但汤氏称该书 从头到尾都是 序言。

据初步统计，到1989年底他已经发表了123篇论文，内容极其庞杂，涉及语言学 、概率论、 通讯工程、水利学、经济理论、金融分析、布朗运动、湍流、复迭代、宇宙学、临界现象与相变等等。

芒德勃罗不是传统意义上的数学家、科学家，他的经历和学术生涯史无前例。 1973年以前， 他一直不被各领域的科学家所认同，“分形理论”诞生后他的“政治”地位(他自己愿意用这样的词汇)剧变，成为世界上最有名气的科学家之一。通过因特网(Internet)，可以很好 地检验一个人 的知名度：用万维网(WWW)浏览器打开Yahoo!检索引擎，输入“Mandelbrot” 或者“fractal”，几秒种内便可查到上万条信息。仅从这一点来看，当今世界还没有哪位 科学家如此赫 赫有名，即使将他与影视名星放在一起，其知名度也不逊色。

科学界曾两次为他举行国际范围的祝寿活动，并相应出版了祝寿科学论文集。一 次是1989年 在其65岁生日时，纪念文集以《物理学D》(Physica D，专门刊登非线性科学方面的论 文)杂志专号出版(1989年第38卷)，刊登了他的大幅照片及详细学术经 历。另一次是1994年 他70大寿(会议拖到1995年举行)，纪念文集由新加坡的《分形》(Fractals，1991年 创办的一份关于“大自然复杂几何的跨学科”学术杂志)杂志专号出版(1995年第3卷第3期)。 对一位科学工 作者而言，这是很不容易享受到的荣誉。

芒德勃罗现为美国艺术与科学院院士，美国国家科学院外籍院士，欧洲艺术、科 学与人文学 院院士。他曾荣获巴纳奖章(F.Barnard Medal,1985)、富兰克林奖章(Franklin Medal,1986 )和物理学沃尔夫奖(Wolf Prize,1991)，还有其他若 干奖励。

芒德勃罗开创的分形理论近年来十分红火，据阿哈罗尼(Amnon Aharony)和费德 (Jens Feder)1989年对INSPEC数据库统计，公开发表的分形论文累计数量符合指数规律exp｛(t-1974)/1.74｝， 其中t代表年份，这表明每年论文数量以1.8的因子增加。

博学成就了事业

进入20世纪，各门科学早已扬弃了博物学的传统，林耐(Carl von Linne,1707-1778) 、莱伊尔(Charles Lyell,1797-1875)和达尔文(Charles Robert Darwin,1809-1882)的时代 一去不复返 了，现在很难找到某人因采用博物学方法而取得重大成功，但芒德勃罗是个极大的例外，他是现代科学界最大的博物学家(naturalist)。他十分推崇《论生长与形式》( On Growth and Form)的作者达西·汤普森，这也间接表明他的博物学倾向。

他的思维方式很特别，喜欢几何是一个特征，此外他更关心数学史和物理学史( 杨振宁、李 政道等大科学家也都十分重视科学史)。多数研究人员总是找最新的学术期刊来阅读，以便能跟上科学技术日新月异的形势。而他专门找一些破旧的、没人翻看的期刊，并且时常注意 一些不起眼 的非核心刊物。这是一个成才策略问题。

芒氏特别重视那些当时非主流的思想，尤其是那些被称作“病态的”、“反直觉 的”的东西 。“医生和律师用各种‘病例集’和‘案例集’来称呼有一个共同题目的实际病例和案例的汇编。而科学上尚无相应的专门名词，因此我建议也应用‘范例集’这个名词。重要的范例 需倍加注意 ，而稍次的也应给予评述：通常可利用先例而缩短讨论。”［２］因此诸 如现在人们熟悉的康托尔 (Georg Ferdinand Philip Cantor,1845-1918)三分集、外尔斯特 拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass,1815-1897)不可微曲线、可充满正方形区域的皮 亚诺(Giuseppe Peano,1859-1932)曲线、 谢尔宾斯基(Waclaw Sierpinski,1882-1969)地毯 与海绵、柯赫(H.von Koch,1870-1924)雪花曲线等等，都被他视为珍宝。而 这些一直被正统 科学视为少数的反例，只是在教学过程中作为一种逻辑可能性偶而提到。在分形如此流 行的今天，本文没有必要一个一个地仔细讲述这些“怪物”(芒氏视其为“宝贝”)的具体性质， 从任何一本 关于分形的书中都可以容易找到一些例子。

芒氏把世人的想法正好颠倒过来，他认为别人视为怪物的东西恰恰是最普通的类 型；别人视 为想当然的无比美好的点、线、面、体却是例外。长期的观察、收集与总结，使芒德勃罗获得这样一个印象：除了光滑的欧氏几何(广义的，泛指分形几何以外的标准几何)以外，应该 还有一种不 光滑的几何，这种几何更适于描写大自然的本来面目。

在其代表著《大自然的分形几何学》中，芒德勃罗如是说：“为什么几何学常常 被说成是‘ 冷酷无情’和‘枯燥乏味’的?原因之一在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传 播的。更为 一般地，我要指出，自然界的许多图样是如此地不规则和支离破碎，以致与欧几里得(几何)──本书中用这个术语来称呼所有标准的几何学——相比，自然界不只具有较高 程度的复杂 性，而且拥有完全不同层次上的复杂度。自然界图样的长度，在不同标度下的数目，在所有实际情况下都是无限的。这些图样的存在，激励着我们去探索那些被欧几里得搁 置在一边， 被认为是‘无形状可言的’形状，去研究“无定形”的形态学。然而数学家蔑视这种挑战，他们想出种种与我们看得见或感觉到的任何东西都无关的理论，却回避从大自然 提出的问题 。”

芒氏认为，分形几何学并非20世纪数学的直接“应用”。它是数学危机的一个晚 产的新领域 ，这个危机从雷蒙德(duBois Reymond)1875首次报告外尔斯特拉斯构造的处处连续而不可微 函数就已开始了。这次危机大约延续到 1925年，主要的演员是康托尔、皮亚诺、勒贝格和 豪斯多夫(Flix Hausdorff,1868-1942)。这些天才们的工作的影响，远远超出了原定的范围 。他们及其几代后继者都不 知道，在他们那些十分返朴归真的创造后面，有着一个趣味盎然的世界。

海岸线：最容易说明的分形

巴塞罗斯(Anthony Barcellos)采访芒德勃罗时问他：“分形实例中你最喜欢哪 一个?”芒氏脱口而出：“当然是海岸线例子”。随即他又补充说还有“血管分形结构”以 及“自平方龙”(复 迭代中的一个例子)等例子。他风趣地讲，实际上他不知道最喜欢哪一个，所有那些分形模型都好比他的孩子，他都喜欢，作为父亲因为所有孩子而骄傲，所有孩子 都为这个分 形之家添了光彩。“一个人可以因为不同的理由爱不同的孩子，但他不可能有真正绝对的偏爱。”

不管怎么说，海岸线例子还是最容易说清楚的分形实例，芒氏到处演讲，也总是 提起它，在 两部专著中也把海岸线问题放在前头讲述。

1967年芒氏在美国的《科学》杂志上发表长度为两页多一点的报告《英国海岸线 有多长?统 计自相似与分数维》，列出分维公式D=-logN/logr(N)，说明海岸线是一种无标度对象，用不同刻度的“尺子”去测量此类现象，可以得到完全不同的长度 结果。实际 上可以说海岸线有任意长度、无穷长度(当然从物理上看，无标度区间总有一个下限，在原子层次就不能再谈“海岸线”问题了)。这时候“长度”就不是一个特别合适 的物理量了，它 显得有点不“客观”，而分维D则是一个很好的特征量。

实际上关于海岸线长度测量悖论，在芒氏之前英国著名气象学家里查逊(Lewis Fry Richard son,1881-1953)、波兰著名数学家斯坦因豪斯(H.Steinhaus,1887-1972)和法国著名实验物 理学 家、诺贝尔奖获得者佩兰(Jean-Baptiste Perrin,1870-1942)等都有过精彩论述。芒 氏当时似乎只注意到前两人，后来才发现后者有一长串精辟阐 述(在1977年、1982年的专著 中芒氏大段引述了佩兰的话)。在《科学》杂志上的这篇文章中，芒氏根据 里查逊的数据绘制了6条海岸线的“双对数图”，展示了存在6条直线(只有一条略弯曲)，这些直线的斜率就 代表海岸线 的分维值。

这篇文章的第二张图示意了如何用几种“生成元”导出不可求长的 (nonrectifiable)的自相似曲线。后来芒氏用柯赫曲线来说明海岸线问题。80年代后，生成元与L系统理论和计算机 图形学结合起 来，引起不小的热潮。

从这个实例可以看出，分形几何非常直观、简单，比现在任何一种数学都简单几 百倍，似乎 没什么了不起。但第一个吃螃蟹的人不容易，第二、第三个吃者也不简单。对于分形几何学中相当多内容，即使芒氏也不是第一个吃螃蟹的人，但他使吃螃蟹成为了时尚。他做的许多 贡献都是这 种性质的，他最终将毫无头绪的“杂多”综合在一起，创立了分形科学。

贯穿始终的一条线索

除了创立分形几何学这样一个总的题目，芒氏的主要科学成就具体说来主要包括 什么?如果 去掉“主要”两字，罗列一长串也就齐了，但是限制列出几项，考虑起来可不容易。有些现在看起来重要，可能不久后随着科学的发展又不算什么了，有的现在一般般，但也许以后会 变得重要。 无论怎样，作者还是根据自己的粗浅理解初步列出几项：

1)发现莱维(Paul Levy,1886-1971)稳定分布的重要性，并应用于经济学、布朗 运动、星系分布等领域；

2)用自相似观点研究噪声与湍流的阵发过程；

3)［重新］发现M集合，推动了复迭代的复兴和计算机图形学的发展；

4)在前人基础上扩展了维数概念，并使各领域科学家广泛理解；

5)提出“分形”概念和“多分形”(multifractal，也译作“多重分形”、“多 标度分形”) 思想，为不规则现象、临界现象研究树立了一面新的旗帜；

6)促进了科学的统一和数学的普及，有力推动了科学与艺术的结合。

在一般人看来，芒德勃罗的最主要贡献是发明了一种新的几何学。但是仔细研究 他曲折的学 术生涯会发现，他首先进入的并不是基础数理科学，而是“工程技术”(做广义的理解)。他在工程技术中(或者用中国话来说，在生产实践中)发现问题，总结出带有规律性的东西，进 而将它们上 升为一般理论，最终创立“分形几何学”。这与当前物理学家、数学家改行的顺序似乎正好相反，现在通常是由基础数理科学转向经济学、社会学和哲学等。

直到最近人们对芒氏的理解还局限于确定论范式，90年代以后才有一些人注意到 芒氏那里还 有随机论范式，并且在芒氏那里两者本来是有机地结合在一起的。

芒氏本人曾明确说过，如果将来写关于分形方面的专著或者教科书，倒是可以直 接从随机变 量、随机函数讲起，而他之所以没有这么做，主要是考虑：首次进入能够极大地吸引读者的话题，应让读者立即产生几何直觉。无论是研究词频分布、通讯系统的噪声、价格变化，还 是布朗运动 、湍流、星系结构，芒氏都用了“自相似”这一貌似简单的思想。他的思路这这样的：

自相似性≡尺度变换下的一种对称性→双曲分布→非高斯稳定分布→巧妙利用了 方差为无穷的“病态”性质→莱维飞行→各种应用(海岸线、皮亚诺曲线、门格尔/谢尔宾斯基海绵等) →分维测度→ 分形几何→自相似性→……

芒德勃罗曾说：“与分形关系最紧密的是双曲概率分布”(见《大自然的分形几 何学》第38 章)。他最早接触的词频分布与收入分布研究，都涉及这一主题。在我们分析的上述方案中，特别突出了目前一般分形著作不太重视的“非高斯稳定随机过程”。

芒德勃罗从事的第一个科研实践(实际上仍然理论气十足)是研究通讯中的噪声和 词频的分布 ，后来是河水的涨落以及经济学中的收入分布规律。这几项似乎一点不搭边，但它们都指向一个不变的东西，这个线索如此重要，以至不理解它就无法理解芒德勃罗一生工作的统一性 。这个线索 沟通了自然科学中长期存在的确定论描述体系与随机论描述体系，这个线索帮助人们理解宣言书《大自然的分形几何学》中各个部分之间的内在联系。这个线索的潜在价值 远未开发完 毕，它正在成为众多新学科的生长点：如最近对分数布朗运动(FBM)的兴趣，对莱维飞行(Levy flights)的重新关注，对非高斯稳定随机过程的新认识等等。

那么这个线索是什么呢?就是从他的老师莱维那里学来的“莱维稳定分布” (Levy’s stable distributions)。莱维是概率论少有的几位著名的奠基人之一，虽然现在的学生几 乎不知道这个 伟大人物了。当年在法国综合工科学校，莱维教过芒德勃罗，芒氏师从莱维学习基本的数学分析。后来有人问芒氏是否是莱维的学生。芒氏的回答很有趣：“不，许多人 后来都声称 是莱维的学生，但莱维特别否认他有什么学生”。芒氏讲的“学生”(student) 换成“弟子”(disciple)大概更恰当些。

芒德勃罗大约在1960年左右真正意识到非高斯型稳定分布的意义，从此他坚定信 念，不为外 界各种反对、批评所动，连续将这种思想应用于经济学、流体力学以及天文学。

在概率论基础奠定之前，钟型误差分布定律就已广为人知，这种分布具有各种想 象得出的好 性质，所以被冠以“正态分布”，也称高斯正态分布。言外之意，不满足这些性质的分布都不是标准的——也许多少有些“变态”。特别是本世纪初对布朗运动的大量研究，更加深了 人们对这种 完美分布的向往。维纳(Norbert Wiener,1894-1964)成功地发展了一套关于布朗 运动的漂亮数学理论。如今人们称布朗运动往往有两种含 义，一种指物理上实在的微粒运动 导致的宏观过程，另一种则指维纳的那些纯粹数学。实际上维纳在研 究布朗运动随机过程时所用到的分布只是高斯正态分布。

数理科学中个别案例使用正态分布导致了空前成功，直接诱导人们将它推广到一 切物理现象 ，最终必然影响到社会科学界。在相当长时间里(甚至到现在仍然如此)，数理统计工作者言必称正态分布，在相当程度上正态分布是唯一有用、方便的工具。然而芒德勃罗发现这种流 行观念是错 误的。

经济学中的“稳定分布”

现在查到芒德勃罗一共发表18篇经济学论文(也许会有几篇的出入)，主要涉及《 经济学季刊 》、《政治经济学杂志》、《计量经济学》、《商业杂志》、《国际经济评论》、《交叉科 学评论》、《运筹学研究》、《经济学与统计学评论》、《经济与社会测度年刊》、《应用经济学》等，发表时间集中在1959年至1973年。综观芒氏的论文和专著，他只关心一个核心 的经济问题 ——收入分布以及与之有关的价格问题。据他人本讲，他对经济学中的帕累托(Vilfredo Pareto,1848-1923)分布的研究从1957年在哥伦比亚大学和康奈尔大学的时期就开 始了，然后在法国里尔 大学和综合工科学校继续了这项工作。1973年以后他义无返顾地离开了经济学，专心发展“分形几何学”。与在其他学科一样，经济学界并没有轻易接受他的非 正统观点， 但芒德勃罗已经得到自己想得到的东西，他并不在乎经济学界当时能否承认他。

米罗夫基(Philip Mirowski)1995年评论说，芒德勃罗的经济学研究在经济学团 体内引起过两次巨大风波，一次是在60年代末，一次是在80年代末。第一次是因为芒氏的观点攻击了当时占支配地位的计量经济学和资产定价理论，第二次是因为芒氏在非线性动力学运动中出尽 风头，经济 学家受“浑沌”(chaos)的影响,间接评论了芒氏的早期研究工作。两次反响的主流都是怀疑芒氏的理论和方法，既使有一些人受芒氏论文的激励，转而注意自己未曾考虑的 方面，也不 相信芒氏的理论。

芒德勃罗最早关注经济学问题是从关于收入分配的帕累托定律(Pareto?s law) 开始的，这个定律的形式颇像他在语言学词频分布中注意到的齐普夫定律( George Kingsley Zipf‘s law)。意大利经济学家帕累托曾专门分析过收入分布数据，他发现收入分布具 有如下特点：

N=N_0x-b，

其中N_0是总人口数，x是收呻水平，N是收入不低于x的人口数，b为参数。芒德勃罗后 来将指数b解释 为分维数D。这个公式的含义是，收入水平越高，则收入高于这一水平的人口越少。现在甚至不清楚帕累托是否用最小二乘法或者别的统计程序实际导出过这个公式， 他当时认定 收入分布对于人为干预是不变的。用概率的观点表示，此定律的形式为：

1-F(u)=Pr(U(t)＞u)～(u/u*)-α～Cu-α,

其中α称帕累托指数，一般介于(1，2)之间，有时也可以达到(4，5)之间。此式与上面 的公式是等价 的。芒德勃罗也称P(u)=Pr(U＞u)=Fu-D类型的分布为双曲分布 (hyperbolic distributions)。

直到芒德勃罗1960年左右开始将帕累托分布重新用于经济学，此分布在经济学界 几乎没什么 影响。他的论文《帕累托-莱维定律与收入分布》、《稳定帕累托随机函数与收入的乘差分》、《某些推断价格的差分》、《帕累托分布与收入最大化》、《统计经济学的新方法》等 发表后，经 济学界不以为然。正统经济学家认为数据拟合得并不佳，并且认为芒氏的理论需要微观证据。

芒德勃罗看重的不是数据拟合到何种程度，而是收入分布的长时尾(fat tails) 现象在尺度变换下具有不变性，即个人收入分布、厂商尺度的收入分布和城市尺度的收入分布都具有这 样的“尾巴 ”。“长时尾”现象暗示存在一种非高斯意义上的稳定分布。芒德勃罗熟悉他老师莱维的工作，立即将它与莱维的“稳定分布”联系起来。

简单说来，稳定分布的含义是，多个独立同分布随机变量序列经过适当的线性总 和(linear aggregation)后，其分布仍然保持不变。稳定分布是无穷可分的，对应于稳定分布的随机过 程是稳定过 程。稳定分布是比正态分布更广泛的一类分布，其中包含了正态分布。标准正态分布与正态分布都是稳定分布，柯西分布也是一种稳定分布，除此之外还有没有别的重要的稳定分布呢? 这正是芒德勃罗急于思考的。实际上他的老师们已经解决了这个问题，莱维和弗雷歇(Maurice-Rene Frechet,1878－1973)细致地研究过类似问题，指出负幂律分布就是一种重要的稳定 分布(其中指数满足关系0＜b＜2)。芒氏1961年的文章《稳定帕累托随机函数与收入的乘差分》就是献给 综合工科学校的莱维教授的，而1962年的文章《帕累托分布与收入最大化》则是献给巴黎大学(Sorbonne)的弗雷歇教授的。在芒氏的文 章中，帕累 托分布也称帕累托-莱维分布。

芒德勃罗的经济模型中具有尺度变换下的“不变性”，他认为这十分关键，仅仅 凭这一点就 值得认真研究。他认为负幂律分布是除了高斯正态稳定分布外最简单、最值得考虑的一种稳定分布。它就像玻意耳(Boyle)的气体模型一样，可能与实际有些差别，但它是一种重要类 型，一种简单 的理想情况，只有研究清楚了这种理想情况，才能推而广之从而考虑更复杂的情形。正如我们不能说理想 气体(perfect gas)模型没有价值一样，也不能说帕累托-莱维 分布过于理想化而没有实用价值一样。从这种意义上看， 经济学界对他的反驳其实均不构成 威胁。芒德勃罗是从逻辑分类的角度、从数学可能性的角度思考问题 的，其模型撇开经验事实仍然具有理论价值。实际上1963年洛仑兹(Edward Lorenz,1917- )的《确定性非周期流》 一文(在非线 性科学史上具有重要地位)也具有此性质，洛仑兹方程只是大气运动的一种极度的理论抽象和简化，它甚至可以与实际的大气运动无关，但仍然具有重要理论意义和间接的 实际意义。 也正因为如此，芒德勃罗与洛仑兹的理想模型的应用也就不限于什么经济学或者气象学，而具有普遍性，可以扩展到相当多的学科。芒德勃罗实际上也是这样做的，他不久 后就将莱维 稳定过程用于湍流研究，特别强调了“莱维飞行”，现在看来他的确是先行者，历史将公正地记录下他的先驱性工作。

以棉花价格波动为例来讲，芒德勃罗的理论的特点在于，它不是考虑在某一个特 定层次产生 价格变动的规律，而是跨越层次，寻求尺度变换下的不变性。棉花价格是一种理想的数据源，经济学家对其变动的传统看法是，短期变化与长期变化没有关联，由快涨落导致的瞬间价 格变化是随 机的，而长期的价格波动是由于显然的宏观经济形势和战争之类重要事件决定的。因此传统经济学处理此问题的办法是，在确定性的过程中加上随机的噪声。芒德勃罗却把 不同层次统 一起来，发现日变化曲线与月变化曲线的一致性。对于股票价格，他也作了类似的分析。这未必是最好的理论方法，但至少是一种可能的理论方法，而以前人们确实忽视了 它。但经济 学界由于长期习惯于自己那一套思路，对芒氏的做法自然有反感，攻击他的最好办法就是指出其曲线拟合不理想。

在研究股票价格变化时，芒氏极力反对“价格连续变化”的模型，认为这种照搬 牛顿力学于 经济学不济于事。在经济系统中，小的连续变化可以引起突然的不连续变化。基于这种考虑他否定了滤波预测方案和各种人为凑出高斯分布的办法。在经济学研究中他提出了标度原理 (scaling principle)。

设X(t)为价格，logX(t)是独立增量过程，即logX(t+d)-logX(t)具有独立于 d的分布，其中只需引入一个标度因子。芒氏立即想用此模型得出一些有意义的结果，但首 先要面对的是 这种模型的奇怪性质(实际上这竟是他所期望的)。芒氏大胆地假设logX(t+d)-logX(t)具有“无穷方差”! 他第一次用符号V表示方差。以前人们想当然地假设方差是有限量，发散的情况根本不予考虑，也不应该考虑。用芒氏语言讲，人们似乎患了“无 穷方差综合 症”。具有反叛色彩的芒氏假定V=∞自有他的考虑：“不用说，假定V=∞的成功后果是，我就很容易使曲线具有无穷长度、曲面具有无穷面积。”(第37章)于是后来提到的 “英国海岸 线长度”、皮亚诺曲线填充、柯赫雪花曲线长度等问题都有了理论基础，当然其他思想渊源也曾帮助他得到了那些结果。但作者认为，海岸线问题是后来的事。那时他已经 有了基本结 论，他不断翻阅数学“故纸堆”，也不断发现一些阐述得更佳的论述，但这些新发现的材料当初对于他形成基本的分形思想并未产生影响。在撰写专著时，他当然要重新规 划，以一种 更直接、更通俗、更符合逻辑顺序(发现过程并不符合通常的逻辑)的方式叙述出来，甚至更多的是考虑读者的反应。

到了80年代经济学界受非线性动力学的影响不得不对芒氏的早期研究作出评价， 在此之前 克拉克(P.Clark)的博士论文以及后来的自回归条件异方差(ARCH)、广义自回归条件异方差( GARCH)模型回避了芒德勃罗开创的路线，仍然假设噪声服从于一种基本的高斯分布，但有一 个变化的二 阶矩。他们的文章引用了芒氏的假设，但设法避免那类假设。但这种处理方法仍然没有逃出分数阶自回归滑动平均(ARIMA)的套路。到后来，许多经济学家更多地采用GP关联积分算法 (Grassberger-Procaccia两人提出的)求时间序列的分维数，用BDS统计(Brock -Dechert-Scheinkman三人在关联积分的基础上发明的)检查经济系统中是否存在非线性结 构。但是正如 米诺夫基指出的，经济学界的这些人物并没有认真吸收芒德勃罗的思想，而是应付、回避矛盾，他们既排斥莱维稳定分布也排斥浑沌。芒德勃罗早已摒弃了“不是决定论 就是随机论 ”的两极化选择，他认为经济现象比较复杂，应当用更精致的随机过程或者浑沌动力学描述，应当放弃牛顿经典力学的套路，由原子运动推出一切。本质上在经济学问题上 芒德勃罗采 用的是一种类似统计物理/热力学的现象学的方法，这一性质还未被经济学界深入理解。

当芒德勃罗离开经济学时，他得到了什么?他似乎高兴地带走了价格变动的自相 似观点、标度律的观点，以及一种似乎无人注意但有着各种潜在应用价值的“莱维稳定分布”。布朗运动与莱维飞行

1785年荷兰医生英根豪茨(Jan Ingenhausz，1730-1799)首次报告了布朗运动， 他发现花粉颗粒在酒精溶液表面运动。但这种现象被冠以布朗(Robert Brown,1773-1858)这个名字。布 朗1828年发 表了他的更细致的观察和研究。这种现象直到1905年，才由伟大的爱因斯坦(Alb ert Einstein,1879-1955)用分子运动论一举阐述清楚，布朗运动是由于流体分子热运动不 断撞击微小颗 粒造成的宏观现象。

实际上1900年在法国，庞加莱的一个名叫巴歇列(Louis Bachelier,1870-1946)的学生， 在其论文中就已经发展了一种布朗运动理论，只因为他的论文是关于股 票市场涨落问题的，未引起物理学家的注意。巴歇利引入了今日称作查普曼-柯尔莫哥洛夫链的方程，并 导出了随机过程的扩散方程，指出概率可以像热一样扩散。由于巴歇利的论文不为数理学界所知， 它对后来布 朗运动的物理学没有产生直接影响。巴歇利研究的经济问题中没有摩擦、没有斯托克斯定律，也没有阿弗伽德罗(Amedeo Avogadro,1776-1856)常数。芒德勃罗在1977年出 版的专著《分 形：形、机遇与维数》中，特别以很多的篇幅描述了巴歇利的简历和研究成就，虽说芒德勃罗极擅长从旧纸堆中挖掘一些没有注意的“古怪”东西，但用如此长的篇幅还 不多见。

爱因斯坦的著名论文《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》1905 年发表在《 物理学杂志》。［３１］爱因斯坦预测，布朗粒子随机行走(random walk)均方位移( mean squared displacement)随时间线性增长，乘以一个与阿佛加得罗常数有关的因子: λ?x=[KF(]2Dt[KF)]，用现在的符号表示则有〈x2(t)〉=2Dt。1908年这一结果立即被 佩兰用来测定阿 佛加德罗常数，进而为“原子”的存在性提供了重要证据。佩兰1926年荣获诺贝尔物理学奖。从那时起，布朗运动成为重要的研究对象。

但是问题并没有彻底解决，或者说研究才刚刚开始。从数学上看，布朗运动涉及 许多艰深的内容。对于离散布朗轨迹，可以在固定步长的格子上研究简单的随机行走，但对于连续情形却遇到了严重的困难：布朗粒子运动路径处处不可微，粒子的速度无法定义。这时已有了勒 贝格的测度 理论，而又恰好出现了一个伟大的人物——维纳，他抓住这个时机(大约于1921 年)，利用测度理论，发展了一整套漂亮的随机过程理论，后来称之为维纳过程或者布朗运 动。芒德勃罗 早就把布朗运动视为分形的一个典型，并将布朗运动轨迹视为二维分形。

维纳开创的布朗运动数学，已成为概率论的一个经典范式(paradigm)。后来柯尔 莫哥洛夫 (A.N.Kolmogorov,1903-1987)于1931年奠定了概率论的基础，日本学者伊藤清(Ito) 又发展了维纳的理论 ，提出随机积分等概念。

1968年芒氏与尼斯(J.W.van Ness)合作发表了一篇重要论文《分数布朗运动、分 数噪声及应用》，1969年与瓦利斯(J.R.Wallis)合作发表论文《带有分数高斯噪声的计算机实验》，19 71年发表论 文《一种快速的分数高斯噪声发生器》等。实际上芒氏所使用的若干新工具、新方法，早在这之前他就十分熟悉了，已经在通讯工程和经济学领域部分尝试过。

其中σ2(t)=t2H，H的取值范围一般限制在(1，1/2)之间。当H=1/2时，正好对应 于布朗运动。这一推 广意味着随机行走的均方位移随t2H而增加。当H较小时扩散较慢，当H较大时扩散较快。在湍流中H可以取非常大的值。

如果随机行走发生在分形体上(如逾渗(percolation)格子)，则运动行为不同于 一般的布朗运动，运动由于空间背景的不同可以时快时慢，表现出不均匀跳跃。H的取值可以分成 两类，当H小 于1/2时，均方根位移慢于线性增长，当H大于1/2时，均方根位移快于线性增长。其中后者非常有趣，涉及著名的“莱维飞行”。

布朗运动的基本思想是随机行走，所使用的基本数学是高斯正态分布，随机行走 者t时间后的位置分布是高斯型的，方差正比于时间。对于一维的N步随机行走，每一步的步长x是一随机 变量，其概率分布为p(x)，具有0均值。法国数学家莱维提出这样的问题：什么时候N步的总和的分布仍然 具有与单步相似的(乘以一个标度因子)分布?这等于问，整体与部分何时有相似性，因而很自然与分形有关。对此问题通常的想当然的回答是高斯过程，因为N步 高斯分布加起 来仍然是高斯分布。但是莱维一般地证明了，此问题还有其他解。

早在1853年柯西(Augustin-Louis Cauchy,1789-1857)就认识到对于N步可加(也 叫稳定 )随机过程，除了高斯分布作为其显然解外，还存在其他可能的解。当把x实空间变换为 傅里叶 (Jean-Baptiste-Joseph Fourier,1768-1830)k空间时，可加过程的可能概率 分布为

[AKp～D1]?N(k)=exp(-N｜k｜β).

当β等于1时，便得到柯西分布，β等于2时对应于高斯分布。如今上式称为莱维概率分布 。

应当说明的是，广义的莱维稳定过程(sD_1+sD_2=sD，s_1X_1+s_2X_2=sX+常数)，仅对三种极特殊的情况，可以解析地求出稳定概率分布。当x的绝对值很大时，返回到 实x空间， p(x)可以用｜x｜-1-β来近似。当β小于2时，显然p(x)的二阶矩无穷大。这意味着除了在高斯情形中，随机行走(飞行)没有特征尺度。正是这一性质决定此类随机 行走是标度 不变的分形。这种随机行走好的性质在于自相似；坏的性质在于具有无穷矩(infinite moments)，于是均方位移发散。

矩发散长期以来被认为是一个致命缺点，物理学家不愿意看到发散性。只是由于 芒德勃罗的大力鼓吹，莱维的思想才一点一点被物理学界所理解，90年代中期“莱维飞行”成了时髦的研究课题。在早些时候，在鼓吹、传播莱维不变分布方面，芒德勃罗当然是唯一的代表人物 ，这一点应 特别提及。

莱维飞行的轨线是典型的分形，虽然不是处处不可微，但跳跃的步长可以变化。 经过一番处 理，均方位移的发散性可以回避掉。特别地，一个随机变量X具有无穷方差，并不能否定X以概率1取有限值。例如柯西密度1/［π(1+x2)］变量几乎总是有限的，但它 具有无穷方差和无穷期 望。莱维飞行的宏观轨迹是一系列折线或者孤立的康托尔尘埃点集。一般情况下不考虑粒子在两个端点之间飞行的中间过程，如果考虑两次跳跃之间具有某种速 度，这种过 程又叫作莱维行走(Levy walk)。人们可以问在不同的飞行片段中，在时间t粒子的飞行速度是多少，这一定是某个与时间有关的有限值。但是平均飞跃状况是 发散的。

从1977年的《分形》一书可以看出，芒德勃罗已经自如地将“莱维飞行”运用于 各种场合， 包括布朗运动、分形集团和星际物质分布，并且给出占7页篇幅的图形说明。遗憾的是，科学 界直到90年代才认识到这部分工作的重要性。

阵发湍流

芒德勃罗关于流体湍流问题的研究始于对经济学的研究之后，1963年秋季他在哈 佛大学听了斯图尔特(Robert Stewart)的一次讲座，了解到流体力学研究中讨论阵发(间歇)(intermitt ency)现象,同时知道了苏联学 派关于湍流研究的一些最新结果，如柯尔莫哥洛夫1941年与19 61-1962年两个阶段的创造性工作。芒德勃罗立即有一种冲动：试图转向湍流研究。他觉得 这些观念对于 自己并不算新鲜事，大约10年前自己在研究通讯噪声时，就碰到过类似的现象。他认为湍流中的许多问题与分形有关(当时还没有“分形”这个概念)。他迫不急待地想把 自己在其他 领域做的工作“翻译”成流体力学的语言。

众所周知，湍流是困扰科学家百年之久的老大难问题。流体运动显然满足纳维叶 -斯托克斯 (Navier-Stokes)方程，但这无济于事，这个方程根本无法求解。多少年来人们从解析的角 度做了各种努 力，均未获重大进展。芒德勃罗则是从几何形状入手的，他声称自己不断观察关于湍流的绘画、照片，考察湍流的速度记录，甚至倾听湍流(将数据转化成音频信号)，还 用功率谱等 手段测量湍流，以获得基本的几何直觉。利用自己对其他奇异性问题研究的经验，他形成了一些猜想，但并不能证明它们。直到1967年他才发表关于湍流的文章《偶发湍流 》(Sporadic turbulence)，1968年发表《论阵发自由湍流》(On intermittent free turbu lence)，1972年发表《有关阵发湍流能量耗散的对数正则假设的可能细化》 ,1974年发表《 自相似级联阵发湍流、高阶矩的发散性与载体的维数》，1975年发表《论各向同性湍流》 ， 1976年发表《阵发湍流与分维》，1977年发表《分形与湍流：吸引子与弥散》等。

芒德勃罗对湍流的研究不是从基本方程入手进行严格数学分析，而是从宏观上、 从几何角度观察，先获得几何直觉，构造核心概念，再一层一层作定性分析。这一思路是“将自相似技术应用于湍流的几何学”。芒氏明显地受柯尔莫哥洛夫1941年文章风格的影响，他说：“方 程(指欧拉方 程和纳维叶-斯托克斯方程)并没有帮助我们理解柯尔莫哥洛夫，同时柯尔莫哥洛夫也没有帮助我们解方程。”

芒氏首先从湍流级联(cascade,也译级串)中的自相似出发，在这方面著名气象学 家里查逊仍然走在前面。1926年里查逊就引入了与级联有关的旋涡等级层次(hierarchy of eddies) 的概念。1941年哥尔莫哥洛夫、奥布科夫(A.M.Obukhov)、翁萨格(Onsager)和魏扎克(von Weiza..cker)沿此路线作出重大贡献，不过一般情况下这一组研究只冠以柯尔莫哥洛夫的名字。

芒氏作出“湍流运动的奇异性本质上是分形”的重要猜想。从其它方程导出的已 知的奇异性 不足够以解释直观上我们看到的湍流的特征，于是他猜测：基本方程的湍流解，一定牵涉到新的类型的奇异性，并且可能就是分形。特别地，他说：“纳维叶-斯托克斯方程的解如果 存在，就是事 实上的极限分形。”他进而猜想，欧拉方程解的奇异性，也是实际上的分形。这样一来他发展的分维概念就有了用武之地。直观上看，纳维-斯托克斯方程的解要比欧拉 方程的解光滑 些、少些奇异性，于是可以猜测欧拉方程的解的维数比较大一些。芒氏承认，证明这些猜想，都远远超出了他的解析能力。实际上对于微分方程也是如此，以前人们只知 道不动点、 极限环和极限环面(torus)，经过浑沌的洗礼，才知道还有另一种非周期定态运动。当时芒德勃罗直觉上猜测流体方程应当具有新的奇异性，的确是一个创见。

在研究湍流阵发现象时，他贯彻了“自相似教义”，提出了一个有趣的新概念“ 乳凝”(curdling)，与它对应的一个词是“乳清”(whey)。“乳凝”和“乳清”随机地混合在一起，构成复杂的结构，类似于康托尔集合、谢尔宾斯基海绵。芒氏特别强调，对“乳凝”这个词不 要作字面上 的理解，但是考虑到“乳凝”外面的空间包围着“乳清”，倒是有助于理解问题。芒氏形成这样的概念，大概受到诺维克夫(E.A.Novikov)和斯图尔特(R.W.Stewart)1964年论文《湍流的 阵发性与能量耗散涨落的谱》(原文为俄文)的影响，也受到霍伊耳(F.Hoyle)1953年和1975年关于星系团 等级层次模型的影响。

芒氏解释说，诺维克夫与斯图尔特合写的文章的核心假设是，阵发性是由级联导 致的，在每 一阶段能量都从一个旋涡(eddy)“集中”或者“乳凝”(作动词用)到N个次级子旋涡(su beddies)，旋涡的比例为r，于是有如下分维公式D=logN/log(1/r)。对于宇宙 学D一般小于2，但对于流 体湍流D大于2。在1977年的专著《分形》中，芒氏用四页插图表现 “随机乳凝”(random curdling)结构，用以形象地说明流体湍流耗散的一般过程。

经过m次级联耗散后，能量均匀分布在第m层次的γmD个子涡旋上。在三维空间上 一共有γ3m个子涡旋。当级联无限进行下去时，耗散的极限分布均匀地散布在一个维数小于3的分形“乳凝”(作名词用)上。芒德勃罗将这种湍流称为“分形各向同性湍流”(fractally homogeneous turbulence)。

利用这种思想芒氏于1976年将柯尔莫哥洛夫的5/3指数改写为5/3+B，其中 B=(3-D)/3。

芒氏特别研究了乳凝与乳清的结构关系,这时他用到了物理学中非常重要的概念 ——逾渗和 逾渗壶(percolator)。逾渗壶就是一组自相似的集团(cluster)，而集团是由联通的乳凝组成 的。芒氏1974年将简单的乳凝(1/r和N都取整数的情况)分解过程称为正则乳凝(canon ical curdling)，后来又考虑令N可以随机变化，对应于每一层次有一个随机数U，再规定 一个概率阈值p ，当U大于p时子旋涡湮灭成为乳清，当U小于p时子旋涡存活为乳凝。当p小于 1/r3时，所有过程都死掉，于是D为0，对于其他情况有非零概率，过程收敛到一个维数为 D=3-logp/logr 的分形上。此模型的好处在于D可以在0和3之间变化。

法国尼斯天文台的弗里茨(Uriel Frisch)教授1995年在专著《湍流：柯尔莫哥洛 夫的遗产》中高度评价了芒德勃罗关于阵发湍流的思想，实际上弗氏是较早就认识到芒氏思想重要性的 少数人之一 。1974年克莱茨南(R.H.Kraichnan)纠正了随机级联模型的一个概念错误，用速度增量和能量流这些惯性物理量代替了耗散量，使得诺维克夫-斯图尔特模型发展为β 模型。弗里茨在β 模型中讲述了芒氏的自相似级联思想。

芒德勃罗、弗里茨、帕里西(Giorgio Parisi，罗马大学)等提出的“多［重］分形”概念对 于阵发湍 流研究具有重要意义，但是多分形模型的现象学表示有两个缺点：第一，它假定存在奇异性，第二，它没有区分正负速度增量。弗里茨从概率的观点重构了多分形模型，克服 了这两个缺 点。概率意义上的多分形标度性，并不要求在个体层次上实现任何分形结构。从这个意义上看，湍流的分形或者多分形描述更多地体现着概率含义，离精细尺度的几何特征 则越来越远 ，虽然起初是从几何入手的。不过，进入90年代中期，达·芬奇(Leonardo da Vinci,1452-1519)式的湍流又成为研究的焦点，科学家们开始考虑极细小尺度上(到了柯尔莫 哥洛夫 尺度的量级)的非平庸的几何结构，特别关注涡丝(vortex filaments)的形成以及对 于流体动力学和统计特征的影响。

对布尔巴基学派的态度

芒德勃罗一生做了各种各样的研究，涉猎语言学、通讯工程、热力学、经济学、 湍流、布朗 运动、复迭代等等，在他的工作中数学与其他学科是自然结合在一起的。如果说他是什么什么家的话，他首先是“科学博物学家”，因为他善于从科学史中发现有价值的东西，将一些 孤立的、只 言片语的深刻洞见联系起来。他的几乎每一样贡献都很容易找到一系列前身，对此人们有两种不同的看法，一种观点认为芒德勃罗没什么了不起，只不过自己造了“分形” 这个词而已 ；另一种观点截然相反，认为他的创造是伟大的综合，是任何人所无法替代的， “分形”体现的并不只是一个普通名词，它统摄了科学界各学科呼唤已久的内在声音。无疑 本文作者持 后一种见解。

芒德勃罗以几何方式思考问题，这句话有两方面的含义，一种是他以数学上的几 何学方式思 考，另一种则带有若干贬义：以直观的、从形状出发的、不严格的方式思考。对于芒氏，应该说两方面的含义都有，他本人也不讳言。他常常津津乐道地讲自己以图形的方式思考问题 的好处，当 年考巴黎高等师范学校时以几何方式“做弊”就是一例。另外芒氏不止一次公开反对布尔巴基学派的数学风格。

布尔巴基(Nicolas Bourbaki)是一群主要来自法国高等师范学校的数学家的笔名 。关于这个名字的来历有多种说法，总之是人为编造出来的。这个学派作为一个集体在20世纪的数学界 可谓影响甚 大。此学派的先驱人物主要有三位：康托尔、希尔伯特(David Hilbert,1862-19 43)和诺特(Emmy Noether,1882-1935)。第一位为他们提供了集合论，第二位提供了公 理化 方法，第三位则提供了抽象代数。1934年冬天高等师范学校的一伙毕业生商定第二年7月在一家饭店召开布尔巴基成立大会。成立初期活跃人物主要有:维尔(Andre Weil，1906 -)、迪多内(Jean Alexandre Dieudonne,1906-),迪尔萨特(Jean Delsarte,1903-)、 卡当(Henri Cartan,1904-)、切瓦利(Claude Chevalley,1909-)等。可以看出他们年纪相差 不多。这些年青人经常聚会，在一起讨论纯粹数学。30年 代他们计划撰写一部纯数学专著， 从基本原理出发，按严格逻辑发展进行形式构造。1939年以“布尔巴 基”为名的第一部《数学原理》(Elements de Mathematique)出版，一直出版到1980年，产生了很大影响。有 关布尔巴基的详 情可以参阅胡作玄编著的《布尔巴基学派的兴衰：现代数学发展的一条主线》。［33］

公正地评价，此学派为数学的严格化、体系化、结构化发展作出了重要贡献，该 学派中有三 人施瓦兹(Laurent Schwartz,1915- ，是上文提到的概率论大师保罗·莱维的女婿)、谢利( Jean-Pierre Serre,1926- )和 格罗申迪克(Abxander Grothendieck,1928- )曾获菲尔兹奖 ，还有两人维尔和卡当荣获沃尔夫奖，这说明其数学成就是举世公 认的。

既使如此，布尔巴基也不是没有缺陷。从当前趋势看，这个学派已光荣地完成了 其历史使命 ，已走向衰落。这个学派过分强调逻辑而贬低几何直觉，一直受到一些人士的反对，年青的芒德勃罗受不了他们那一套，离他们远远的。1985年有人问芒勃罗：“你提到你不喜欢布尔 巴基对待数 学的那种反几何的方法。你认为布尔巴基的影响对于接受你的分形方法是否设置了重要障碍?”芒氏回答说：“1945年当我离开高师的时候的确是这样，另一次是1958年我 离开法国时。 在这之后就没有了。他们不能阻止我做我自己的事情。多少年来我的许多听众深受他的影响，但并不知道他们的存在。”

芒氏认为布尔巴基试图为数学大厦打下一个基础，但它像浪漫王子梦中的城堡一 样，从未完 工，他们的宏篇巨著也远未实现他们声称的目标，并没有成为数学的普适标准。所谓30年河东30年河西一点不假。在数学界摆锤开始从一个极端摆回到一个更合理的位置。芒氏说：“ 如果我再早 一点推出我们分形几何，布尔巴基也许会成为一个重大障碍。但是现在他们最多能在巴黎开一个研讨会。某种意义上，我或许能从批驳他们的傲慢中获得好处。”

当分形几何学流行起来时，形势也变得突然，芒德勃罗骄傲地指出：“布尔巴基 现任领导人 之一的道阿迪(Adrien Douady，1935- )用了最后的几年时间发展了我所开创的复迭代思想 ，欢迎他总是件好事情。”在80年代 初，道阿迪确实“帮”了芒德勃罗一个大忙：他就芒德 勃罗提出的M集合的连通性与自己从前的两个学生 合作，作了严格的数学分析，得到了一批深刻的数学结果，直接促进了复迭代深入发展。

但是这个问题还可以从另一个角度去看。布尔巴基学派起初都来源于朱丽亚 (Gaston Julia ，1893-1978,在战争中他的鼻子受伤，从照片上可以看到他鼻部带着一个特制的面具)在高 师办的 讨论班，无疑朱丽亚可算作布尔巴基的祖师爷，而复迭代基本上是由朱丽亚开创的。芒德勃罗只是在70年代末才重新碰到这个问题，大张旗鼓地研究起迭代来，并将它与分形联 系在一起。 因些也可以说芒德勃罗皈依了布尔巴基传统。客观的看法也许是，数学的各个分支是内在联系的，发展总有个先后，物极必返，一种方法、一个问题的流行均有一定的时代 规律性。芒 氏与道阿迪两个对立学派都来研究复迭代，说明几何方法与分析方法没有本质的不同(代数、几何与分析历来是数学的相互统一的三大块)，在计算机的帮助下可以走到一起 来，这是本 世纪80年代以来出现的盛事。

在对道阿迪进行表扬的同时，芒德勃罗严厉批评了大数学家迪多内：“布尔巴基 的奠基人之 一迪多内，关于数学的意义发表了大量极端错误的言论……。比如他认为皮亚诺曲线是反直觉的，只有用逻辑才能理解它，用直觉是不可能理解其性质的。这完全错了。今天皮亚诺曲 线被视为完 全直观的，因为我的工作使得它如此。我有这样一种感觉，迪多内并没有敌意，只是有趣。”

对于布尔巴基的全面评价涉及数学的建设以及数学教育的开展，是个很严肃的话 题。最后引 马季芳为《今日数学：随笔十二篇》所写的译后记中的一段话：“美国自50年代末到70年代初，花了20年功夫大搞‘新数学运动’……不幸，改革的指导思想全部采用布尔巴基学派的 主张，过分 强调抽象理论的重要性，排斥一切实际应用，全部新教材中竟没有一道应用题。结果事与愿违，学生的数学成绩普遍降低。……美国数学界受此打击，痛定思痛……补救之 道，在于数 学家不应孤芳自赏，必须面向群众，用生动活泼的语言，讲述本学科的性质、发展，及其在自然科学和社会科学各方面的广泛应用，借以增进世人对数学的了解和兴趣。”

自我推销

芒德勃罗始终生活、工作在逆境中，在70年代中期以前，世界上没有几个人知道 他，更谈不 上真正理解他了。他几乎是打一枪换一个地方，在不同学科中窜来窜去，哪一个学科似乎也没有特别注意他。维纳在《人有人的用途》中两次提到他算是个例外，维纳那时搞的“控制 论” (Cybernetics)也是新鲜事物，理解的人也不多。

芒德勃罗发表了许多论文，但他回忆说，当初发表每一篇都十分艰难。他不断投 稿，审稿人 对文章的批评毫不留情面(那时他没有名气)，稿件被一次次退回。关于星系结构的论文始终难以发表，“我关于星系的工作在别人知道它之前是不可接受的，而在它成为可接受的之前 ，人们又不 知道它。”发表出来的也做了一些修改，特别是编辑命令他删除“可疑的哲学” (dubious philosophy)部分。

在写作风格上，芒氏后来坦率地承认，他不得不装成某个领域的内行的样子，在 论文中故意 加进一大堆数学公式和推演细节。虽然也不是特别成功，因为他始终带有极强的“异国口音 ”(foreign accent),“但是这种办法对于把我的论文发表在一些好的学术杂志是必要的和 充分的”。

芒德勃罗把科学界对他的学说的态度分成四个阶段：在第一阶段，人们总是问： 你是谁?你 为什么对我们的领域感兴趣?第二阶段则是：这与我们所做的有什么联系?你为什么不用我们所知道知识来作解释呢?第三个阶段是：你能保证这是标准的数学吗?我们怎么不知道?第四 阶段是：这些 领域的数学家怎样评价你的工作?芒氏对后两个问题的回答是：“我能保证这是标准的数学。只是人们很少知道。他们无所谓，因为我的工作并没有增加什么数学。”

1964年他参加了在耶路撒冷举行的“逻辑学与科学哲学大会”，在会上作了“尝 试性的分形 宣言”(tentative fractal manifesto)的报告，可惜没有正式发表出来。到了70年代初芒 德勃罗手边已经积累了不少发表 的和退回的稿子，据说已经堆成了堆(90年代时他不断地抽出一些略加修改就发表了)。

芒德勃罗一直在思考着，当今学科分化严重，学科壁垒森严，像他这样东一榔头 西一扫帚， 在不同学科进进出出的，很难站稳脚根，别人不会承认自己。如果要生存下去，就不能与正 统对着干。短期策略是，要取得别人的信任，尽量隐藏自己的真正意图，争取多发表一些论文，审稿人和 编辑希望怎样修改，自己就怎样修改。而长期战略是，要学会自我推销，最终建立自己是“教皇”(Pope)的一块阵地：即创立一个属于自己的新学科。

1973年芒德勃罗终于找到了一个绝好的机会。这一年他到巴黎去休假，此时他叔 叔佐列姆已经退休，正好可以邀请他在法兰西学院(Coll?e??ge de France)作一场重要的报告。这 对于自己发表一篇一般性宣言以及解释清楚自己多种不同兴趣的内在 统一性，是一个黄金时 机。他作了精心准备，在准备过程中他发现自己的整套工作比以前自己所知道的 更完备、更协调了。讲座在1973年1月进行，极其成功，一个朋友告诉他，这是他听到过的最具自传 色彩的科学讲 演。芒氏回忆说：“我受到好多赞扬，会上根本没有敌意，这使我认识到我多年的荒野生涯行将结束了。为了概括我的统一方法，不久我就造了“分形”(fractal)这个 词，并把这次 的巴黎演讲的内容扩充为一本法文书，这部书1975年出版，不久后又稍作修改出了第二版。”

直到1973－1975年，他才改变了自己的“政治”地位，此前在所有领域他都是局 外人，他的地位和声音都不容许宣布自己的哲学和他的交叉科学方法。1977年的“这本法文书标志着我 从零敲碎打 方法到现在的统一方法的转变，不久分形几何学就变得很有组织了。我的生活方式也深深地发生了变化。你们可以说，我已变成了我的创造物的奴隶。”

这之后芒德勃罗变得似乎有些狂妄。他写文章和书充满了第一人称，他常用“我 宣布”、“ 我认为”、“我发现了”、“我运用了”、“我认定”、“我证明”、“我命名”、“在我漫游我自己新开创的、新开发的学术领地里，我时常行使对新领域中的路标进行命名的权力 ”。著名科 学史家柯恩(I.Bernard Cohen)在《科学革命史》一书中指出，他与自己的学生以及同事进行了长达15年的调研，发现用“革命”词句描述自己成就的科学家并不多，一共 无疑，许多 人不欣赏他这种文风，所以在他成名后许多人公开反对他也就不奇怪了。

对于纯粹数学家来说，芒德勃罗并非数学家。在他的成就达到最高峰时，他甚至 遭到一些同事的辱骂。有人认为芒德勃罗关于自己在科学史上的地位的说法简单是神经病，他们说芒德勃罗向别人述说的贡献，纯系吓唬人，耸人听闻。

这也难怪，芒氏经过曲折的道路，终于取得社会的承认，他急于让世人欣赏他的 成就，急不 可待地希望别人都知道他第一个发现了什么、第一个采用什么方法得到了什么结果。格莱克 (James Gleick)说：“他甚至会写信给一些写了分形方面论文的作者，责问人家为什么不引 用他的文章 与他所写的书!”芒氏的一位朋友里希特(P.H.Richter)替他辩解道：“他一生坎坷，与别的数学家很难相处，为了生存下去，他必须采用这种战略，不断鼓吹他的自我。如 果他不这样 做，如果他不这样自信，他就永远不会这样成功。”

看芒德勃罗的论文和专著，会注意到他大量引用前人的工作，他自己声称善于在 数学垃圾筒 和故纸堆中找金子。但一些人并没有因此而表扬他，反而说他经常引用一些名不见经传、多半已经“安全地”死去了的人物，为的是突出他自己，以使他自己成为学术领域的中心人物 。有人甚至 怀着嘲笑的语气说，他只会从一个领域拿来一些东西，当成他自己的，然后贩卖到另一个领域。有人一面吸收着芒德勃罗的思想，一面尽力避免使用“分形”与“分维”这 样的词汇， 故意用“豪斯多夫-贝塞克维奇维数”(Hausdoff-Besicovitch dimension)等 等。当然大多数科学家还是能够充分理解芒德勃罗的，他们考虑芒氏曾克服的重重困难， 便 原谅了他的强烈个性。毕竟科学就是科学，看的是科学内容而不是当事人的人品和个性。由于不喜欢一个人的个性而不喜欢他的实实在在的有价值的科学工作，是不明智的，到头来也 证明是个性 偏执的。

对于芒德勃罗的风格，数学界还有一个反感。纯数学家认为他只是到处宣布一些猜测，而不是下力气去严格证明它们。发现周期倍分岔普适常数的费根鲍姆(Mitchell Feigenbaum,194 5- )也遇到过这种情况，有位数学家指责他是讲数字呢还是讲严格证明。这是数学家与 物 理学家之间的一个老矛盾了，不过现在由于计算机大量用于科学研究，此问题显得更加突出。如果某人宣布某一事情也许为真，而另一位严格证明它为真，试问哪一位对科学的贡献更 大，谁的工 作才算更正的科学发现?这个问题很复杂，不可一概而论。胡适(1891-1962)的格言也许用得上：“大胆假 设，小心求证。”

公开争论

80年代芒德勃罗卷入多种争论，其中影响较大的公开争论有两场。一次是1986年 在《今日物 理学》杂志上，一次是1989年在《数学信使》杂志上。每一次都连续刊发了系列评论或信函。现在重温这些争论对于理解分形、理解芒德勃罗、理解整个现代科学的运行都有价值。

1986年二月在世界范围享有盛誉的《今日物理学》开办了“参照系”(Reference Frame)这 样一个栏目，首期请芝加哥大学凝聚态物理学家、麦克阿瑟(John D.MacArthur)物理教授卡 丹 诺夫(Leo Kadanoff)著文。卡丹诺夫是相变理论、临界现象、非线性系统浑沌行为方面的专家。他写了一个带有挑战味道的题目《分形：其物理学在哪里?》，开头便写道：“为什 么分形这么多 事?《物理评论快报》(Physical Review Letters)报怨，每三篇投稿中就 有一篇以某种方式与分形扯到一起。一些大公司的实验室(像施乐和IBM) 将其基础研究预算 中相当可观的一部分用于研究分形系统。在过去的一年里，大约有半打学术会议是关 于这个主题的。为什么?”［２０］

看得出来，卡丹诺夫来者不善。他接着说：“但首要的是，什么是分形?不同人 以不同的方式使用‘分形’这个词，但都同意分形对象像中国套箱或者俄罗斯套娃娃，包含层层嵌套的结构。”文章主体部分回顾了扩散置限凝聚(DLA)模型以及分维的计算，接着又开始了发问 。

他说，不幸的是分维测度并不能有效区分不同的对象，虽然也有人给出分维以外 的其他指 标，“但这一领域的未来发展有赖于建立更本质的理论基础，在这个基础上应该能够导出现象层次的几何形式。如果缺少这样一个基础，就不可能准确地确定什么样问题有可能具有有 趣的答案。 人们可以希望，甚至期待，最终要发展出类似威尔逊(Kenneth Wilson，曾获物 理学诺贝尔奖)重正化方法一样的理论基础，来使这一主题漂浮的船舶稳固下来。”“没 有 那样的基础，许多分形工作似乎显得肤浅，甚至有些乏味。在各种各样模型的基础上实施计算机模拟，然后将结果与真实世界的情况对比，这不难，简直太容易了。但是，缺少组织原 则，这一领 域就会堕落为有趣物种和简易分类的动物园。尽管这一领域所基于的现象观察十分美丽和精致，但分形的物理学，无论如何是有待诞生的学科。”

《今日物理学》4月份在“研究与发现”栏目中又刊出记者列维(Barbara G.Levi)写的一篇报道《新的整体分形形式化(formalism)描述了通向湍流的道路》,主要讲了费根鲍姆发现周期 倍化分岔普适常数以及许多人的实验验证，特别提到分形的新的形式化描述，写下了公式 p?i=lα?i(l)，其中l是小的距离，p?i是概率，α?i是标度指数。标度指数取 值有 一定的范围，其分布构成奇异性谱，用函数f(α)表示。可以粗略地把f设想为熵。这说的是多［标度］分形。接下去文章用大量篇幅讲述各种具体研究，以及以α为横坐标、f(α )为纵坐标做 出来的曲线图。有关思想来源只在一处简单地提到芒德勃罗的名字。

芒德勃罗看了这两篇文章大为不悦，给编辑部去了一封信，刊于《今日物理学》 9月号，题 目是《多分形与分形》。他首先针对卡丹诺夫的提问作了回答：“卡丹诺夫问‘分形 为什么这么多事’，我们看到现在答案部分在于他本人以及他的亲近同伙的工作都与‘多分形’有关。”芒德勃罗在这封信中特别补充了自己早期关于多分形的贡献。“1968 年我在关于 发达湍流的工作中第一个提到了多［重］分形，70年代我发表了有关此问题的大量论述。”他一口气提到他独立撰写与合作完成的十余种文献，目的只有一个，强调他最先 提出了多［ 重］分形的思想。全文最刺激的话是：“无论怎样，来自芝加哥的关于(多)分形的最新研究，令我感受到作为一位父亲的骄傲，也许不久就要当祖父了。”

不过应当指出“多［重］分形”一词是弗里茨和帕里西命名的，当然他受到了芒 德勃罗的影 响(如1974年的文章)，后来弗氏又对多分形形式化进行了改进。芒德勃罗也承认这一点。

芒氏又讲道：“尽管我70年代的论文既难写更难读，但它们包含一些至今没有超 越或者没有 重新发现的思想。特别地，我发表在《统计模型与湍流》一书中的论文(1972年，题目为《阵发湍流中与能量耗散分布有关的对数正则假设的可能细化》)包含多分形测度的有用描述 。”他还让人 们注意1980年在哈佛大学时与一伙同事们(如杰芬(Y.Gefan)和阿哈罗尼等)合作发表的多篇论文。这些同事完全站在芒氏一边，其中阿哈罗尼是芒氏的重要追随者，1989 年10月他与 费德在法国专门举办了一次研讨会为芒氏65岁生日祝寿，并组织出版了纪念文集 (见1989年出版的《物理学38D》杂志)。

在这封信的结尾芒氏写道：“扩散置限凝聚(DLA)及其各个变种确实只是被发现 和描述，还 没有完全解释清楚。描述先于理论是科学发展的通常模式。但是，看看在短短不到6年的时间里已变得彻底可理解的所有硬科学!看看关于逾渗网瀑涨的知识，以及分形形状对物理学 所产生的奇妙 的、多样性的影响和修正吧!” 优先权问题

芒德勃罗卷入的第二个争论远胜过第一个。这次发难者是早年毕业于圣克鲁兹加 州大学、现任圣路易斯州华盛顿大学的数学家克兰茨(Steven G.Krantz)，他的研究方向是函数论和复 分析的几何方法。此人爱好广泛，后来(1990年)还在同一刊物上 发表一篇《数学秩事》，专门讲述了柏格曼(Stefan Bergman,1898-1977)、贝塞克维奇(Abram S.Besicovitch,1891-19 70)、哥德尔(Kurt Go..del,1906-1978)、莱弗席兹(Solomon Lefschetz,1884-1972)和 维纳的一些令人发笑的故事。

好在那些数学家早就去世了，讲述的故事真假死无对证，不过这一次(1989年)他 却惹了麻烦 。1988年秋克兰茨想对两本书《分形图象科学》和《分形之美》作一评论，先征得了美国数学会会刊书评编辑的同意。编辑斯托特(Edgar Lee Stout)很快收到稿子并同意发表。校样 1989年1月中 旬出来后克兰茨故意复印了一些让人们传看，特别送给芒德勃罗一份。芒德勃罗阅毕表示强烈反对，并写了一篇反驳文章。后来数学会怕惹事，建议克兰茨撤回书评稿另 投他处。克 兰茨也非常生气，堂堂美国数学会怎么能出尔反尔。最后书评连同芒德勃罗的反驳一同刊登在很有名的《数学信使》(The Mathematical Intelligencer)杂志1989年第 4期上。

克兰茨的书评写得很长，只是稍带评论一下提到的那两部当时影响极大的书，文 章的中心是 冲芒德勃罗和分形几何学来的。开篇温和地从公众理解数学谈起，不久就到了关键：“但是，目前数学中有一项进展由于其潜在的易理解性，可能使其他数学宣传相形见绌，这就是分 形理论。尽 管现在称作分形集合的东西已早被研究了(如在调和分析、几何测度论和奇异性理论中)，但芒德勃罗起了‘分形’这个词，并使之流行起来。”

接着引用了《分形之美》中芒德勃罗一段得意的、极容易引起反感的话，然后评 论说，有人 竟认为分形是自微积分以来最伟大的数学思想。但他认为根本不是这么回事。“像微积分的创立者们一样，分形几何的奠基人也造就了一批有志于此事业的中坚队伍。他们不会因为缺 乏严格性而 受阻，因为他们分享着最近300年来辛勤积累的智慧，即使到目前还没有普遍接受的‘分形’定义。情况似乎是，他们不证明定理(显然分形几何学家们不证明定理)时，是 不需要定义 的。分形几何与微积分的显著差别是，分形几何没有解决任何问题。我不清楚它是否创造了任何新的东西。”可以看出火药味是颇浓的，而这里见到的还是修改后、语气有 所缓和的稿 子。

克兰茨还特别提到要把目前不适当归于“分形”标题或者大伞之下的真正数学拿 走，至少是 划清界线，他认为分形几何学只是一个空架子。他认为像“轮廓使人想起一只狗的头，上部 像尼斯湖的妖怪。在自然界中其分维数D比欧氏空间维数E要大0.2到0.3的形状似乎特别多。典型的海岸线 的分维大约是1.2，地形约为2.2，而云彩约为3.3”这类描述根本不像是科学。“当人们翻开这两本书时，似乎分形几何是一门科学，显然指数学。但是我在两本书 中任何一处 看不到一个定理，也几乎没有定义。如前面指出的，对‘分形’一词没有明确的定义。作为一个数学家，我觉得这不是一个好兆头。”“我不认为芒德勃罗证明了任何定理 作为他的研 究结果，不过这也并非他所声称要做的事。用他自己的话，他是一位科学哲学家。”“芒德勃罗建议分形几何学家也利用计算机作图来提出假设和猜想。但作分形研究的人 提出的假设 和猜想是就事论事的，他们产生图形是为了得到更多的图形，而不是为了得到更深刻的思想。即使这些图形偶然会使熟练的数学家证明出好的定理，这似乎是碰碰运气而已 。”

克兰茨的书评特别评论了关于复迭代的研究，他故意抬一个贬一个，认为道阿迪 和哈伯德(J .H.Hubbard，道阿迪以前的学生)的工作继承了朱丽亚和法图(Pierre Fatou,1978-1979)的 传统，是真正 出色的数学。“‘芒德勃罗集(简称M集)’并不是由芒德勃罗发明的，很清楚在“芒德勃罗集”这个词被 制造几年之前，文献中就清楚地出现过(指布鲁克斯(Robert Brooks)等人1978年的会议论文，1981年出版)。事实上法图和朱丽亚早就研究了迭代函数 z→z2+c，如今 芒德勃罗至少是由于与这此有关，而得到不少荣誉。”克兰茨还就“ 外尔斯特拉斯-芒德勃罗函数”的命名提出疑问，不过这算不了什么，芒氏也巧妙地作了回 答:实际上作 这样称呼的是著名科学家伯瑞(Michael Berry),WM函数具有自仿射性质，而W函数不具有。

克兰茨认为虽然道阿迪等对动力系统、迭代函数作了出色研究，“但是这些数学 家们不研究 分形，他们证明漂亮的定理。分形几何之所以得到数学界如此高的赞扬，实际上是间接称颂道阿迪、哈伯德、沙斯顿(Willian Thurston)和其他人的工作。”“我发现麻烦的是，公众 对于当今数 学家们正在从事的工作的理解大部分是由于读了关于分形的书，读了格莱克的《浑沌》(Chaos)一书，读了那些包含长期间的猜测和不正确的证明的书籍，来获得的。 ……这两部书造成 了可怕的误导。分形理论和浑沌理论还处于襁褓中。现在就讲述它们是否能篷勃发育为成熟的学科为时尚早。”［１４］

克兰茨的文章还挑起了另一个敏感问题：“对分形理论的过分宣传导致了对数学 发展的有害 的官方政策。在一些圈子中，得到购买产生分形图形的硬件的经费，比支持研究代数几何来得容易。代数几何是经得住时间考验的，而分形几何还没有，人们一定会奇怪，是怎样的考 虑导致这样 的经费资助决策。我个人的看法是，官僚机构比较容易认同对硬件的投资而不是对思想的投资。无论怎样，对这种政策造成的长期效果的预测令人沮丧。”。最后的结论是 ：“关于它 们形成一门新的学科，或者形成自然界中一种新的分析语言这一断言，我想说，分形理论在这方面所作出的贡献是非本质的。总之，皇帝没有着穿衣。”

克兰茨的批评十分坦率，有不少也的确击中要害，但总体上似乎过火了，多少有 些“红眼病 ”之嫌。我们还是看看芒德勃罗的反应吧。

他先作了一个有趣的开场白：“看看数学的历史，数学界回到了具有灵活性和多 元论的时代 ，每个人都有权力表明他的心情。”之后着重就“芒德勃罗集”的优先权作出了反应，这对他来说的确很重要，公众(特别是能够上微机作图的人)主要是由芒德勃罗集而知道分形的。 自然扯到布 鲁克斯与马蒂尔斯基(J.Peter Matelski)1978年写成1981年发表出来的文章(刊于一部论文集中)。准确说，虽然芒德勃罗于1979-1980年也研究了二次复迭代，大概也独立 发现了M集， 但布鲁克斯发现得更早些。论文写成时间一个是1978年，一个是1980年(或者再早些算1979年)；但发表时间正好倒过来了，一个是1981年，一个是1980年。论文集显 然比杂志论文 刊出周期长。芒氏不愿承认发现的先后，但又不好正面反驳，于是找到另外几个理由：1)指出布鲁克斯只给出了M集的粗糙版本；2)是芒德勃罗本人大力宣传了M 集；3)正是芒德勃罗 吃饭的时候花大量时间向道阿迪讲述M集，促使道阿迪与其学生哈伯德暂时放下手头的工作而专心研究M集的性质。芒德勃罗指出，他在沙利文(Dennis S ullivan,也是道 阿迪以前的学生)的CUNY讨论班上向米尔诺(J.Milnor)和沙斯顿讲述M集时，M集还不曾归于任何人的名下。［14］

M集合究竟是怎样开始冠以芒德勃罗的名字，现在还不清楚。但这并不是什么了 不起的 事情，数学史上张冠李戴的事多着呢。比如：1)计算机辅助几何设计中，利用伯恩斯坦(Ber nstein)多项式可得出工程设计中非常有实用价值的比泽尔(Pierre E.Bezier,1910- )曲线，这种算法雪 铁龙汽车公司工程师卡斯特乔(de Casteljau)也独立地做了同样的工作 ，只是没有宣传。［39,40］2)利用复函数去计算实积分的值，欧拉 (Leonhard Euler,1707-1783)和拉普拉斯(Pierre-Simmon Laplace,1749-1827)都有优先权。3)在常 微分方程研究中 ，关于富克斯(Immanuel Lazarus Fuchs，1833-1902)型函数和克莱因(Chri stian Felix Klein，1849-1925)型函数也存在一些争 议。庞加莱将克莱因研究过而富克斯没有研过的那种函数命名为富克斯型函数，遭到克莱因的抗议，于是庞加莱马上将自己新发 现的一种函 数命名为克莱因函数，然而克莱因本人从来没有考虑过这种函数!［41］

芒德勃罗在为自己争优先权时不小心又伤了布鲁克斯，后者1990年在第1期《数 学信使》中 反驳了芒氏。布鲁克斯在给编辑的信中说：“至于谁发明了现在称作芒德勃罗集的东西，我 认为应当牢记：大约在20年代法图的头脑中对此就有一幅完整的图象。毫无疑问，如果法图有机会接触现代计算机的话，他就可能并且已经绘制出马蒂尔斯基、芒德勃罗和我60年后画 出来的完整 图形。这么多年来，工作在这一领域的其他许多人也一定能够做到。坦率地说，生活在计算机革命的时代，我很难自作主张拥有某种荣誉。”

芒德勃罗曾说：马蒂尔斯基和布鲁克斯只是接近于那种将被证明是特殊的东西， 但他们对于 这幅图形并没有理解。布鲁克斯反问道：“我不知道他对我们理解什么或者没有理解什么，怎样那么有把握!我们特别不喜欢发表带有哲学思辨性质或者半生不熟的方案。要害在于句 子的前半部分 。在所有这些大吵大嚷之后，如果芒德勃罗真的相信这个集合有些特殊，那么他一定言不由衷。正如英国海岸线没什么不同于世界上所有其他海岸线一样，芒德勃罗集也 只是整个奇 妙的数学宇宙中的一个(当然既不是第一个也不是最后一个)，它反射出自然界与思维世界中各种类型的美与精巧。”

在1990年第1期《数学信使》中还刊发了卡丹诺夫对上述讨论的回应，不过他只 字未提孰是 孰非，而是补充评论了一下先前提到的两部书，这为它们很有价值，其中的一部他还推荐给自己的学生阅读。

另外芒德勃罗还就克兰茨说他是“科学哲学家”进行了辩白，说那只是克兰茨的 论断。芒氏 称自己是“实干家”(doer)，写的文章也都发表在实实在在的数学、科学和艺术杂志上。很 清楚，在他们的争论中，双方都认定“科学哲学家”只是一些善于夸夸其谈、只知道评论别人工作的一伙 人。实际上呢?大家心里都清楚。

克兰茨并不服输，1989年第4期《数学信使》还为他留了一小块再反驳的空间， 他讲了这样 一段再次让芒氏难受的话：“布鲁克斯和马蒂尔斯基的思想是在1978年的一次会议上提出的，至于芒德勃罗的早期贡献可能在1979年到1980年之间。《今日物理学》的编辑列维在1986 年4月的文章 中介绍了卡丹诺夫的工作，这工作用的是统计力学方法而不是分形几何方法。列维描述这一深刻的科学研究工作时用了分形的语言，芒德勃罗表示默认，这正好提供一个 例子，说明 分形几何学家借用其他学科的出色成果来装点自己的倾向。”

抛开情感因素，克兰茨对分形几何的批评是有意义的，分形几何的确存在他所指 出的若干不 成熟性、不严格性，但是这不应该归罪于一个人，特别不能归罪于为这一新学科做出重大贡献的创始人芒德勃罗。责任应该由科学共同体集体承担，其中他自己也有份。当然由于涉及 一些个人利 益，芒德勃罗过分敏感，作为领袖他主动应战。实际上芒德勃罗并没有争回什么 (M集的命名已成事实，谁也改变不了)，反而影响了自己的公众形象，使人觉得他是一 个过分计较的人。 芒德勃罗大概没有研究过大众传播学，他应该知道，人不出名时，公开的争论对自己有利，而当自己出名时，公开争论只能给自己抹黑。

有人曾说芒德勃罗这个人有才无德，他与几乎所有同事都争执，甚至把别人指责他的把戏转手。