2009-01-06
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从最简情形出发
周奕生
当问题比较复杂,感到困难,不易下手时,就可以适当地“退”,甚至可“退”到最简单的情形,然后由此出发去分析,可能会巧妙地突破,请看
例1 甲乙两人轮流在圆形桌面上玩摆硬币游戏,规定硬币大小相同,不能重叠,谁摆下最后一枚谁获胜。你知道获胜的策略吗?
分析:一个大大的圆桌究竟可以容下多少枚小小的硬币呢?这是多数解答者面临的困境之一。但如果告诉你圆形的桌面很小,小到和硬币一样小,或者告诉你硬币很大,大到和圆形桌面一样大,这时应该说连三岁的小孩都知道先摆的人获胜。事实上也是如此。不论桌面和硬币的大小如何,先摆者只要将第一枚放在正中央,接下来只要后摆者能摆下一枚,先摆者也总可以摆下一枚,这是由于圆是中心对称图形,对于每确定的一个点,总存在一个关于圆心对称的点。因此,先摆者获胜。
象上述这种思考问题的方法我们称为简约思维法,简约思维法实际上就是将繁杂问题的背景简单化,将一般问题特殊化。再看以下几例。
例2 某录像厅原门票一张6元,降价后平均每场的观众可以增加3倍,收入增加了2倍,问每张门票降价多少元?
分析 按一般的思路求解的方法大多是:设门票降价x元,原有观众a人,则原收入6a元,降价后收入4a(6-x)元,依题意,得
4a(6-x)=18a,解得x=1.5
因此,降价1.5元。
现在我们问题的背景简化为:原来的观众只有一人,则原收入6元,降价后观众有4人,收入18元,因此,降价后的门票价格是每张4.5元,降价了1.5元。
例3 四只蚂蚁分别从正方形的四个顶点同时沿正方形的边爬行,如果它们的速度相同,那么这四只蚂蚁不相撞的概率是多少?
分析:许多人的解法是:将每只蚂蚁可能爬行的方向(顺时针和逆时针)一一罗列出来,然后确定不相撞的情形(都按顺时针或逆时针方向爬行)求解。而事实上,我们可以先确定第一只蚂蚁爬行的方向,为了不相撞,其余三只蚂蚁爬行的方向必须与第一只相同,而每只蚂蚁爬行方向与第一只相同的概率都是 ,因此,三只蚂蚁爬行与第一只都相同的概率是 ,这就是四只蚂蚁不相撞的概率。
例4 某船拖一橡皮筏沿江逆流而上,在A处由于绳子断开,橡皮筏顺流漂走了10分钟后船上的人才知道,立即掉头追赶。假设船掉头的时间忽略不计,问需要多少分钟才能追上?
分析:许多解题者一见到这个题目都认为题设条件似乎不足,一旦确定题目无误后采用的解法大多是运用“设而不求”法,即设船在静水中的速度为a,水流的速度为b等等。而事实上题目并没有告诉我们水流速度如何如何,我们完全可以假定水是静止的,这样问题岂不是很简单了吗?
在水为静止的前提下,绳子断开后橡皮筏也是静止的,始终呆在A处,船是在静水中行驶,往返的速度相同,行驶的距离也是相同的,因此,船离开A处和返回到A处的时间相同,也是10分钟,故船需要10分钟才能追上橡皮筏。
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