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费马最后定理的故事

2015-10-23 收藏

今年6月间,德国哥庭根大学的大会堂里,500名数学家齐聚,观看普林斯顿大学数学家魏尔斯(Andrew Wiles)领取沃夫斯柯奖。沃夫斯柯是一位德国工业家的名字,他在20世纪初遗赠10万马克设立此一奖项,给予世界上头一个能解决费马最后定理之人。当时10万马克是不小的一笔数目,约等于200万美金,而几个月前由魏尔斯领到时,不过相当5万美金左右,但是这确是近世数学界的盛事,魏尔斯不只是证明了费马最后定理,也替未来的数学带来革命性新发展。

费马最后定理的发明者自然是一个叫费马的人。费马(Pierre deFermat)1601年出生在法国西南方小镇。费马并不是一个数学家,他的职业是一名法官。当时为了保持法官立场的公正,通常不鼓励他们出外社交,因此每天晚上费马便钻研在他嗜好的数学之中,悠然自得。

在1637年的某一天,费马正在阅读古希腊大数学家戴奥芬多斯的数学译本,忽然灵光乍现,就在书页空白处,写下有名的费马定理。

费马定理的内容其实很简单,它只是基于一个方程式(X+Y=Z)。这个方程式当n等于2时,就是人们熟知的毕氏定理,中国数学上所称的勾股弦定理,其内容即直角三角形两边平方和等于其斜边的平方。如32.+42.=52.(9+16=25)。

费马当时提出的难题是,当这个方程式(X+Y=Z)的n大于2时,就找不到任何整数来符合这个方程式。例如33.+43.(27+64)=91,但是91却不是任何整体的3次方。

费马不仅写下了这个问题,他同时也写道,自己已经发现了证明这个问题的妙法,只是书页的空白处不够大,无法写下证明。结果他至死都没有提出他的证明,却弄得300多年来数学界群贤束手,也使他的难题得到一个费马最后定理的称号。

19世纪时,法国的法兰西科学院,曾经分别两度提供金质奖章和300法郎之赏,给予任何可以解决此一难题之人,不过并没有多大进展。

20世纪初捐出10万马克奖金的沃夫斯柯,事实上也是一个对费马最后定理着迷的“数痴”,据一些历史学家研究,沃夫斯柯原本一度已打算自杀,但由于对解决费马定理着迷,而放弃求死之心,因此他后来便在遗嘱中捐出巨款,原因是他认为正是费马定理救了他一命。

重赏之下必有勇夫,但是解决数学难题却非人人可为。20世纪公认的德国天才数学家希伯特(D. Hilbert)就不愿去碰费马定理,他的理由是自己没那么多时间,而且到头来还可能落得失败的下场。虽然费马定理还是让许多数学家萦怀于心,但是他们看这个难题就有如化学家看炼金术一样,只是一个古老的浪漫梦。秘密钻研7年突破难题

最后解决这个世纪难题的魏尔斯,早在1936年他10岁之时,便有着挑战费马定理的浪漫梦想,他在英国桥剑地方的图书馆中读到这个问题,便决心一定要找出证明方法。他学校的老师并不鼓励他浪费时间于这个不可能之事,大学老师也试图劝阻他,最后他进了英国剑桥大学数学研究所,他的指导教授指引他转入数学中比较主流的领域做椭圆曲线。魏尔斯自己也没有料到,这个由古希腊起始的数学研究训练,最后会导致他再回到费马定理之上。

1927年,日本数学家谷山丰提出一个讨论椭圆曲线的数学结构,后来在美国普林斯顿大学的日本数学家志村五郎,再将这个结构发展得更为完备。这个被称为“志村—谷山猜想”的数学结构,居然成为化繁为简,通向解决费马定理的绝妙佳径。

1984年德国萨兰大学的数学家佛列发展出一种很奇特也很简单的关联,将“志村—谷山猜想”和费马定理扯在一块,佛列提出的关联经过好几位数学家的努力,最后终于证明了如果要证明费马最后定理,可以经由证明“志村—谷山猜想”来完成。

魏尔斯是1993年在英国剑桥大学,正式宣布他已解决费马最后定理,在此之前他已秘密的工作达7年之久,原因不只是怕受到公众压力,也害怕其他数学家抄袭他的想法,在这段期间,魏尔斯连和太太去度蜜月中都未能从“附魔”脱身。

最后的结果是魏尔斯并不需要证明整个的“志村—谷山猜想”,他只要证明一些特定的椭圆形曲线是具备某种特性。但是这些特定的椭圆曲线还是有无穷多个,因此证明技巧上依然十分困难。魏尔斯基本上利用了数学上常用的归纳法,他的办法有点像推倒骨牌的游戏,如果要推倒无限多张的骨牌,你必须确知的乃是一张骨牌倒下时,一定会碰到的下张骨牌。魏尔斯在1993年6月23日觉得他的证明已十分完整,于是便在剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会上正式宣布。300年悬案终有解

300多年数学悬案终于解决,不只数学界哗然震惊,数学门墙之外的社会大众亦感到好奇,媒体大量报道,魏尔斯立时陷入聚光灯中。虽然魏尔斯的证明长达百页以上,不过其他数学家立即动手检视他的巨作,这种在科学界称之为“同侪评核”的过程,是科学成果禁得起考验的保证,结果魏尔斯的证明归纳中,有一处瑕疵,消息传出后,魏尔斯童年以来的美梦几乎变成了恶梦。

魏尔斯于是又花了14个月时间,和他以前一位学生隐居理头工作,试图找出新的证明办法。1994年9月19日,他们终于找到关键的解答,魏尔斯过去曾经考虑过利用岩泽理论证明方式。但是最后不成功而放弃了,现在他突然悟到,这个已放弃的办法正好可用来解决此瑕疵。

对魏尔斯来说,解决费马最后定理,得到沃夫斯柯奖是一场30多年迷梦的终结。“解决这个问题,确实有一种自由的感觉。在过去8

年中,我过度的投入这个问题,无论是早晨醒来还是夜晚入睡,我总是无时不想着这个问题。这个特殊的漫长之旅已了,我心如止水。”

但是对许多数学家来说,一个大问题依然存在着。所有人都同意,比起当年费马在画页空白处写下这个难题时所想的解答,魏尔斯的证明一定过于复杂和依赖现代数学的概念。如果费马的证明真的存在,要不就是其中必有些错误,不然的话,一个简单又巧妙的证明还等着人们去发现!

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