手动开平方

1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准。

2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。（在右边例题中，比5小的平方数是4，所以平方根的最高位为2。）

3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。

4．把第二步求得的最高位的数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商。（右例中的试商即为[152/(2×20)]＝[3.8]＝3。）

5．用第二步求得的的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数。（即3为平方根的第二位。）

6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。用上一个余数减去上法中所求的积（即152－129＝23），与第三段数组成新的余数（即2325）。这时再求试商，要用前面所得到的平方根的前两位数（即23）乘以20去试除新的余数（2325），所得的最大整数为新的试商。（2325/(23×20)的整数部分为5。）

7．对新试商的检验如前法。（右例中最后的余数为0，刚好开尽，则235为所求的平方根。）

如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值。在《九章算术》里就已经介绍了上述笔算开平方法。

《九章算术》少广章：

第十二题：今有积五万五千二百二十五步。问为方几何？

答曰：二百三十五步。

开方术曰：

置积为实。借一算。步之。超一等。议所得。以一乘所借一算为法。而以除。除已。倍法为定法。其复除。折法而下。复置借算步之如初。以复议一乘之。所得副。以加定法。以除。以所得副从定法。复除折下如前。

若开之不尽者为不可开，当以面命之。若实有分者，通分内子为定实。乃开之，讫，开其母报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。

以《九章算术》中求55225的开方为例，图解说明。

| 5’ 52’ 25 (1)

2 | 5’ 52’ 25 (2)

| 4

|1’ 52 (3)

152/(2×20)＝3＋... | 1’ 52’ (4)

(2×20＋3)×3＝129 | 1’ 52’ (5)

1 29

| 23’ 25 (6)

2325/(23×20)＝5＋... | 23’ 25 (7)

(23×20＋5)×5＝2325 | 23’ 25 (8)

| 23’ 25 (9)

0 (10)

于是，235即为所求。

手动开立方

1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；

2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数；

3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；

4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；

5．把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数；

6．用同样的方法，继续求立方根的其他各位上的数。对新试商的检验亦如前法。