一、分数产生的现实背景之一--测量

从数学发展史看，分数产生于人类的测量活动，而且人类认识分数是从认识分数单位开始的。

⑴测量一张三人沙发的长度，如果没有现成的尺子，可以自选一个度量单位，如用一条领带的长为度量单位进行测量，测得三人沙发的长恰好等于这条领带长的2倍，即

三人沙发的长＝领带的长2＝2（领带的长）。

量＝度量单位量数。

⑵测量一张单人沙发的长度，发现它还不足一条领带的长。怎么办呢？办法是缩小度量单位。把这条领带对折两次，即以这条领带长度的四分之一（）为度量单位时，单人沙发的长恰好等于它的3倍，即

单人沙发的长＝领带的长的3＝（领带的长）

量＝度量单位量数。

在测量单人沙发时，我们用到了比自然数1更小的度量单位（把自然数1平均分成4份，表示其中的一份的数是）。

这里，分数和表示不同的长度（量），其中，是分数单位，表示3个，或的3倍。

所以，用分数单位度量一个量时，所得的结果一般是用分数表示的。也可以说，分数是由量与分数单位（度量单位）的倍比关系产生的。分数单位的重要性可见一斑。

想一想：已知用1为单位度量三人沙发的长时，量数是2，沙发的长是多少？那么用为单位度量这张三人沙发的长，量数是几？这张三人沙发的长度是几分之几？如果用为单位去度量这张三人沙发的长呢？

下面的表格，同样可以表征上述数学问题：

三人沙发的长度

度量单位

量数

？

1

2

？

？

？

？

下面双重刻度的线段，也可以表征上述的数学问题：

经过上述作业，能充分体验量、度量单位、量数三者的基本关系：量＝度量单位量数；同时，还会发现：2＝＝。

再想一想：用为单位去度量一张双人沙发的长，如果所得的量数是6，那么这张双人沙发的长度可以用什么分数表示？

上面这个数学问题，用线段图表征如下：

二、分数产生的现实背景之二--分物

⑴用自然数1表示1个物体，把它平均分成若干份，表示其中一份的数，叫做分数单位。

⑵用自然数1表示由许多物体组成的一个整体时，把它平均分成若干份，表示其中一份的数，也是分数单位吗？

把8个饼平均分成4份，其中每份都有2个饼。

如果把2（部分量）作为度量单位，去度量8（整体）时，量数是4；也就是说，8是2的4倍。

如果把8作为单位1，去度量2时，量数是；这个分数描述的是同一个量中整体与部分的倍比关系，它本身不是一个量，当然也就不具有充当分数单位的资格。

所以，同一个分数，具有两种不同的意义：一可以用来表示一个量，当它表示量时，它还是计量的单位（分数单位）；二是可以用来表示量数，即表示两个量（整体与部分）的倍比关系。事实上任何分数都具有这两种意义。

笼统地，把单位1平均分成若干份，表示其中一份的数，叫做分数单位。这个定义的科学性是值得商榷的。

⑶如果把9个饼平均分给4个人，每人分得几个饼？

这个实际问题通常被抽象为下面的数学问题：

9平均分成4份，每份多少？

解法一：因为1平均分成4份，其中一份是；所以，9平均分成4份，每份是9个，即。算法如下：

94＝9（14）

＝9

＝。

解法二：94＝2......1，

14＝，

2＋＝2，

所以，94＝2。

上述两种算法，都涉及到一个基本的运算：

14＝

量量数＝度量单位。

在教材中，是通过图形的直观操作得到结果的，但缺乏对操作过程的内涵抽象与概括，使学生不能看到分数与除法之间的本质联系。因此，学生的思维只能停留在经验的层面，他们的理论思维得不到应有的培养和发展。

值得指出的是，当我们把实际问题中的4个人抽象成4份的时候，其中4的意义，从表示量（人数）变换成表示量数（份数）了。当我们掌握了比的概念后，上述的实际问题还可以抽象成下面的数学问题：

9与4的比的比值是多少？其中9与4的实际意义都没有改变，它们分别表示两个不同的量。

解：9︰4＝︰1＝。

回到实际问题的情境，解释比值的实际意义，即表示每个人分得个饼。

从这个例子，也许可以领略到一点产生比的概念的必要性。

三、分数产生的现实背景之三--比较

两个量的比较有两种图式：一是两个量的差比关系（第一学段学习的内容）；二是两个量的倍比关系（第二学段学习的内容）。

⑴一束鲜花，其中5朵白花，10朵红花。

如果以白花的朵数为基准量进行比较，那么红花的朵数是白花的2倍；如果以红花的朵数为基准量进行比较，那么白花的朵数是红花的。这里，2和都是量数，都表示两个量的倍比关系。

上述量与量数之间的对应关系，也可以用下面的线段图直观表示：

测量中的量、度量单位与量数之间的基本关系，可以衍变为在比较中的量、基准量、量数之间的数量关系，即

量＝基准量量数。

⑵按下面的两种方法配制橙汁饮料：

A．4杯纯橙汁、3杯矿泉水；

B．5杯纯橙汁、4杯矿泉水。

A、B两种橙汁饮料，哪种更甜一些？

解决这类实际问题一般都有下列两种思维图式：

①求每杯水平均掺入几杯纯橙汁，掺入纯橙汗较多的饮料更甜一些。根据这种思维图式，以水的杯数为基准量，求纯橙汁的杯数是水的几倍。因此，从实际问题抽象出的数学问题是：比较分数与的大小。

解法一：＝，＝。

因为＞，所以＞。这个结果说明A种橙汁饮料更甜一些。

解法二：＞1.33，＝1.25。

因为1.33＞1.25，所以＞。

②求每杯纯橙汁平均掺入几杯水，掺入水较少的饮料更甜一些。根据这种思维图式，以纯橙汁的杯数为基准量，求水的杯数是纯橙汁的几倍。因此，从实际问题抽象出的数学问题是，比较分数与的大小。

解答这个数学问题也有类似于①中的两种方法，结果是＜，说明A种饮料掺入的水较少，因此更甜一些。

综上，从分数产生的三种现实背景，可以清楚地看到分数产生于量的倍比关系。分数概念的核心是量、度量单位（基准量）与量数的基本关系，即量＝度量单位（基准量）量数。

因此，分数具有两种不同的意义：

1．分数可以表示量。表示量的分数，它或者是分数单位，或者是分数单位的整数倍。

2．分数可以表示量数。量数是以一个量为基准量去度量另一个量所得的结果，它是描述两个量倍比关系的一个数（自然数或分数）。

两个量的倍比关系又有下面四种类型：

①一个量中整体与部分的倍比关系；

②同类的两个量的倍比关系；

③一个量中各组成部分的倍比关系；

④不同类的两个量的倍比关系。

从类型①和②，可以衍生出百分数的概念；从类型③和④可以衍生出比的概念。

量＝基准量量数，这一基本关系有下面两个等价的形式：

①量基准量＝量数；

②量量数＝基准量。

从形式上看，①和②都是两个数相除，但只有①的情形才可以称为两个量的比。各种版本教材关于比都是这样定义的：两个数相除，又叫做这两个数的比。这个定义令人困惑，一些学生也提出质疑：既然两个数相除又叫做这两个数的比，那么为什么还要学习比呢？问的教师无言以对。其实，是这个比的定义有问题，它错误地扩大了比的概念的外延。比的定义似乎应该是：两个量相除，叫做这两个量的比。