一、整数乘分数的意义

从下面的数学情景，可以获得整数乘分数的具体意义。

下图（图1）中4个正方形，每个正方形为1个面积单位，涂色部分的面积是多少？

图1

不难看出：涂色部分的面积＝的4倍。这是用1个正方形的为度量单位，去度量涂色部分，4是得到的量数。

即＋＋＋＝

＝

＝3。

由于＋＋＋可以简写为4或4，

所以，4＝＝4，或4＝＝4。①

再看图1，涂色部分的面积＝4的。这是用4个正方形视为一个整体，去度量阴影部分，是得到的量数。

所以，4的＝的4倍。

即4的＝4或4。

所以，乘法算式4（也可以写成4）有两种意义：既可以表示4的，也可以表示的4倍。

应用上面的算法①，进行整数乘分数的必要的练习后，让学生讨论，尝试用自己的语言去总结分数与整数相乘的计算方法，即让学生参与算法的形式化过程。只要学生能说到以下两点，都要加以肯定。

⑴分子和整数相乘；⑵分母不变。

二、分数乘分数的意义

再看下面的数学情景：

下图（图2）中的长方形，面积是1个面积单位，其中斜线的部分是它的，红色部分是斜线部分的。红色部分的面积是多少？

图2

即＝＝。②

这个计算结果是依靠图形直观，看出来的。如果算，应该怎么算呢？这就要求创造一个算法过程，合乎情理地沟通算式②两边的内在联系。学生是有能力进行这个算法过程的再创造的：

＝＝。

再看下图（图3）中的长方形，其中斜线部分是它的，红色部分是它的。红色部分的面积是多少？

图3

因此，乘法算式（也可以写成）也有两种意义：既可以表示的，也可以表示的。

进而，对两个分数相乘的算法也要形式化，即总结算法：分子相乘，分母也相乘。

事实上，如果把整数视为分母是1的分数，那么整数乘分数的乘法就是分数乘分数的特例而已。

如，4＝

＝

＝

＝。

三、分数乘法的算理

如上所述，＝＝。

一般地，m、n为非零自然数时，＝。这个关系奠定了分数乘法运算的基础。

如，＝（3）（5）分数的意义

＝15

＝分数的意义

＝。约分

又如，2＝（2＋）带分数的意义

＝2＋乘法分配律

＝＋分数的乘法

＝＋通分

＝同分母分数的加法

＝。约分

或者2＝带分数化为假分数

＝

＝

＝。

一般地说，把带分数化为假分数，作乘法运算比较简便。

四、倒数的意义

掌握了分数乘法的计算方法后，我们同样能够获得前面从分数墻上发现的乘法算式：

2＝1，＝1，＝1，＝1，

＝1，＝1，＝1。

基于这些特殊的乘法算式，又引出一个重要的概念--倒数。

如果两个数的乘积是1，那么我们称其中一个数是另一个数的倒数。例如，的倒数是2，2的倒数是，2与是互为倒数。

0为什么没有倒数？

一般的解释是，因为0乘任何数都得0，积不可能是1。

其实，也可以回顾上面那些乘积是1的算式，是怎么从分数墻上发现的。因为量＝度量单位量数，当量是1时，度量单位量数＝1。即当量是1时，度量单位与量数互为倒数。

但是把0作为度量单位是没有实际意义的，用它量不出任何结果。所以，0不可能是任何数的倒数，因此0也没有倒数。