六　百　分　数

一、百分数的意义和读写方法

1.意义:一个数是另一个数的百分之几的数,叫作百分数。百分数又叫作百分比或百分率。

2.百分数通常不写成分数形式,而是在原来的分子后面加上“%”来表示。

3.百分数的读法:先读百分号(分母),读成“百分之”;再读百分号前面的数(分子),是几就读几。

4.分数与百分数的区别:

分数 百分数

意义 分数是把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,它既可以表示两个数量间的倍比关系,又可以表示具体数值 表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫作百分数。百分数又叫作百分比或百分率。它只表示两个数量间的倍比关系

表现

形式 分数的表现形式有真分数、假分数和带分数,计算结果一般要化成最简分数 百分数的分母固定是100,并且用百分号表示;分子可以是整数或小数;分子可以大于分母,也可以小于或等于分母;百分数不能约分,也不能写成带分数的形式

单位

名称 如果表示具体的数量,就要带单位名称;如果表示两个数量间的倍比关系,就不带单位名称 百分数只表示两个数量间的倍比关系,后面不带单位名称

应用

范围 分数主要是在测量和计算得不到整数结果时使用 百分数主要用于日常生活中特定的百分率及调查、统计、分析和比较

二、百分数和小数的互化

1.小数改写成百分数,把小数点向右移动两位,如果位数不够,用“0”补位,同时在后面添上百分号。

2.百分数改写成小数,把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位,如果位数不够,用“0”补位。

3.百分数和小数可以互化,这只是从数值上看,在具体运用时,这两者的意义不完全一样,不能互相代替。如一个数的75%是75不能写成一个数的0.75是75。又如“求比68多25%的数”和“求比68多0.25的数”的意义完全不同。这是因为百分数是表示两个数的倍比关系,而小数表示的是数值。如比68多25%的数表示为68×(1+25%),而比68多0.25的数表示为68+0.25。

三、百分数和分数的互化

1.分数改写成百分数,一般先把分数改写成小数(除不尽时,一般保留三位小数),再把小数改写成百分数。

2.把百分数改写成分数时,可以先把百分数改写成分母是100的分数,再进行化简;分子是小数时,先利用分数的基本性质把分子、分母同时扩大到原来的若干倍,把分子化成整数,再进行约分。

3.能化成有限小数的分数,分母中只含有质因数2和5,否则就不能化成有限小数。判断一个分数能不能改写成有限小数,先要看这个分数是不是最简分数,不是最简分数的,要把它化成最简分数后再运用这一规律来判断。

四、求一个数是另一个数的百分之几的实际问题

1.求一个数是另一个数的百分之几的解题方法。

(1)百分数表示一个数是另一个数的百分之几,也就是“一个数是另一个数的几分之几”的特殊的表示方法,因此,求一个数是另一个数的百分之几的解题方法与求一个数是另一个数的几分之几的解题方法相同,都用除法计算。

(2)解“求一个数是另一个数的百分之几”的实际问题,用除法计算,用一个数÷另一个数。

(3)求一个数是另一个数的百分之几,必须找准单位“1”。

2.求简单的百分率。

(1)求出勤率等百分率的问题,实际上就是求一个数是另一个数的百分之几。

(2)常见的百分率。

出勤率=×100%

成活率=×100%

发芽率=×100%

合格率=×100%

五、求一个数比另一个数多(或少)百分之几的实际问题

1.求甲数比乙数多百分之几的实际问题的解题方法甲数-乙数)÷乙数或甲数÷乙数-1。

2.求甲数比乙数少百分之几的实际问题的解题方法乙数-甲数)÷乙数或1-甲数÷乙数。

3.解题关键:确定单位“1”。

六、纳税和利息问题

1.应纳税额的计算方法。

(1)求应纳税额实际上就是求一个数的百分之几是多少,用乘法计算,即应纳税额=收入额×税率。

(2)当纳税的方法不同且税率也不同时,要先判断应纳税额是按哪个税率缴纳的税款。如果收入中有不纳税的部分,那么应纳税额÷税率=应纳税所得额,收入额=应纳税所得额+不纳税金额。

2.“本金”“利息”及“利率”的含义。

(1)本金:存入银行的钱叫作本金。

(2)利息:取款时银行除还给本金外,另外付的钱叫作利息,也叫应得利息。

(3)利率:利息占本金的百分率叫作利率,按年计算的叫作年利率,按月计算的叫作月利率。

3.利息的计算方法。

利息=本金×利率×时间

4.本息的计算方法。

本息=本金+利息

七、折扣问题

1.折扣问题的解题方法。

商店有时要把商品按原价的百分之几出售,通常称为打折出售。几折就是原价的百分之几十,几几折就是原价的百分之几十几。

2. “已知一个数的百分之几是多少,求这个数”的实际问题的解题方法:可以列方程解答,先找出单位“1”的量,并设为x,再根据等量关系列方程。

3.表示一个数是另一个数十分之几的数,叫作成数。通常用在工农业生产中表示生产的增长状况。“一成”就是十分之一,改写成百分数就是10%;“二成五”就是十分之二点五,改写成百分数就是25%。

八、列方程解决稍复杂的百分数实际问题

1.稍复杂的百分数实际问题的解题方法。

在实际问题中,单位“1”未知时,通常设单位“1”为x,先找出题中的等量关系,再列方程解决问题。

2.解决有关百分数的实际问题,在找准单位“1”的同时,还要看清所要求的问题与单位“1”的关系。

写“%”时,两个圈要写得小些,以免与数字“0”混淆。

百分数读作“百分之几”,不读作“一百分之几”。

注意:百分数只表示两个数量间的倍比关系,不能用来表示具体的数量,后面不带单位名称。如把千克写成20%千克是错误的,因为具体的数量不能用百分数表示。

当小数点向右移动两位时,得到的数就扩大到原来的100倍,再添上百分号,又缩小到得到的数的,所以当添上百分号时,百分号前的数要扩大到原来的100倍。

不是所有的分数都能改写成分母是100的分数,只有能改写成有限小数的分数,才可以改写成分母是100的分数。

一个百分数去掉百分号后,所得到的数就扩大到原来的100倍。百分数化成分数要约分成最简分数。百分数、小数、分数之间相互转化,只是数的表示方式发生变化,数的大小不变。

举例:

判断:10克糖溶解在100克水中,糖占糖水的10%。(　　)

错解:√

此题错在单位“1”(标准量)找错了。此题中的单位“1”应该是糖水的总质量,而不是水的质量。

正解:✕

出勤率是百分率的一种,公式本身应该用百分数的形式表示。如果不乘100%,公式只是分数形式,乘100%既保持数值不变,又是百分数的形式。计算时,“100”参与计算,“%”保留。

出勤率、成活率、发芽率等生活中特定的百分率不能超过100%。

巧记:

各种率,挺简单,计算形式记心间。

除法结果是小数,最后化成百分数。

百分数实际问题的解题思路与分数实际问题的解题思路相同。求一个数比另一个数多(或少)百分之几,就是求两个数的差量占另一个数(单位“1”)的百分之几。

应缴纳营业税税额=营业额×营业税税率

注意:任何一种存款,在计算利息时,都要乘存入时间。如王叔叔把2000元存入银行,存期三年,年利率为3.75%。到期后可得利息多少元?应是2000×3.75%×3=225(元),而不是2000×3.75%=75(元)。

易错点:误认为打几折就是减少(降低)百分之几。如一件上衣原价180元,现在打七折出售,比原价降低了多少元?列式为180×70%=126(元),这样是不对的,只求出了现价,没有求出现价比原价降低了多少元,应为180-180×70%=54(元)。

商品打折后,比原价降低的金额=原价-现价。

找准等量关系是列方程解决实际问题的关键。