二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：

（2）顶点式：

（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。

注意：抛物线位置由决定。

（1）决定抛物线的开口方向

①开口向上。

②开口向下。

（2）决定抛物线与y轴交点的位置。

①图象与y轴交点在x轴上方。

②图象过原点。

③图象与y轴交点在x轴下方。

（3）决定抛物线对称轴的位置（对称轴：）

①同号对称轴在y轴左侧。

②对称轴是y轴。

③异号对称轴在y轴右侧。

（4）顶点坐标。

（5）决定抛物线与x轴的交点情况。、

①△0抛物线与x轴有两个不同交点。

②△=0抛物线与x轴有唯一的公共点（相切）。

③△0抛物线与x轴无公共点。

（6）二次函数是否具有最大、最小值由a判断。

①当a0时，抛物线有最低点，函数有最小值。

②当a0时，抛物线有最高点，函数有最大值。

（7）的符号的判定：

表达式，请代值，对应y值定正负；

对称轴，用处多，三种式子相约；

轴两侧判，左同右异中为0;

1的两侧判，左同右异中为0;

-1两侧判，左异右同中为0.

（8）函数图象的平移：左右平移变x，左+右-;上下平移变常数项，上+下-;平移结果先知道，反向平移是诀窍；平移方式不知道，通过顶点来寻找。

（9）对称：关于x轴对称的解析式为，关于y轴对称的解析式为，关于原点轴对称的解析式为，在顶点处翻折后的解析式为（a相反，定点坐标不变）。

（10）结论：①二次函数（与x轴只有一个交点二次函数的顶点在x轴上

②二次函数（的顶点在y轴上二次函数的图象关于y轴对称；

③二次函数（经过原点，则。

（11）二次函数的解析式：

①一般式：（，用于已知三点。

②顶点式：，用于已知顶点坐标或最值或对称轴。

（3）交点式：，其中、是二次函数与x轴的两个交点的横坐标。若已知对称轴和在x轴上的截距，也可用此式。