1.若xy>0，则对xy+yx说法正确的是()

A.有最大值-2B.有最小值2

C.无最大值和最小值D.无法确定

答案：B

2.设x，y满足x+y=40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()

A.400B.100

C.40D.20

答案：A

3.已知x≥2，则当x=____时，x+4x有最小值____.

答案：24

4.已知f(x)=12x+4x.

(1)当x>0时，求f(x)的最小值;

(2)当x<0时，求f(x)的最大值.

解：(1)∵x>0，∴12x，4x>0.

∴12x+4x≥212x?4x=83.

当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，

∴当x>0时，f(x)的最小值为83.

(2)∵x<0 -x="">0.

则-f(x)=12-x+(-4x)≥212-x??-4x?=83，

当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.

∴当x<0时，f(x)的最大值为-83.

一、选择题

1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()

A.x+12xB.x2-1+1x2-1

C.2x+2-xD.x(1-x)

答案：C

2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()

A.32-3B.-3

C.62D.62-3

解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)≥3(22-1)=62-3.

3.已知m、n∈R，mn=100，则m2+n2的最小值是()

A.200B.100

C.50D.20

解析：选A.m2+n2≥2mn=200，当且仅当m=n时等号成立.

4.给出下面四个推导过程：

①∵a，b∈(0，+∞)，∴ba+ab≥2ba?ab=2;

②∵x，y∈(0，+∞)，∴lgx+lgy≥2lgx?lgy;

③∵a∈R，a≠0，∴4a+a≥24a?a=4;

④∵x，y∈R，，xy<0，∴xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]≤-2?-xy??-yx?=-2.

其中正确的推导过程为()

A.①②B.②③

C.③④D.①④

解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑.

①∵a，b∈(0，+∞)，∴ba，ab∈(0，+∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确;

②虽然x，y∈(0，+∞)，但当x∈(0,1)时，lgx是负数，y∈(0,1)时，lgy是负数，∴②的推导过程是错误的;

③∵a∈R，不符合基本不等式的条件，

∴4a+a≥24a?a=4是错误的;

④由xy<0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.

5.已知a>0，b>0，则1a+1b+2ab的最小值是()

A.2B.22

C.4D.5

解析：选C.∵1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥22×2=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.

6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()

A.最大值64B.最大值164

C.最小值64D.最小值164

解析：选C.∵x、y均为正数，

∴xy=8x+2y≥28x?2y=8xy，

当且仅当8x=2y时等号成立.

∴xy≥64.

二、填空题

7.函数y=x+1x+1(x≥0)的最小值为________.

答案：1

8.若x>0，y>0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.

解析：1=x+4y≥2x?4y=4xy，∴xy≤116.

答案：大116

9.(2010年高考山东卷)已知x，y∈R+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.

解析：∵x>0，y>0且1=x3+y4≥2xy12，∴xy≤3.

当且仅当x3=y4时取等号.

答案：3

三、解答题

10.(1)设x>-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;

(2)求函数y=x2+8x-1(x>1)的最值.

解：(1)∵x>-1，∴x+1>0.

∴y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5

≥2?x+1??4x+1+5=9，

当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.

∴x=1时，函数的最小值是9.

(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1

=(x-1)+9x-1+2.∵x>1，∴x-1>0.

∴(x-1)+9x-1+2≥2?x-1??9x-1+2=8.

当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，

∴y有最小值8.

11.已知a，b，c∈(0，+∞)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)?(1b-1)?(1c-1)≥8.

证明：∵a，b，c∈(0，+∞)，a+b+c=1，

∴1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca≥2bca，

同理1b-1≥2acb，1c-1≥2abc，

以上三个不等式两边分别相乘得

(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.

当且仅当a=b=c时取等号.

12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).

问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.

解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.

总造价f(x)=400×(2x+2×200x)+100×200x+60×200

=800×(x+225x)+12000

≥1600x?225x+12000

=36000(元)

当且仅当x=225x(x>0)，

即x=15时等号成立.