直觉的合理性和数学结构

在文章的最前面我们提到过，从直觉上说来，自然数的个数应该是正偶数的两倍，这里难道没有一点合理的因素在内吗?有时我们会听到数学家说：“几乎所有的自然数都不是素数。

”如果按照一一对应的原则，素数和自然数是一样多的(第一个素数2对应1，第二个素数3对应2，第三个素数5对应3，……第n个素数对应n，……)，这不矛盾吗?

数学并不依赖于直觉，但是尊重直觉，直觉中常常包含着合理的因素。受过数学训练的人对数学的直觉一般来说要比其他人更有合理性，数学大师能够用直觉把握住很深刻的数学理论，他们有时会说：“虽然我还没有一个严格证明，但是我知道它是对的。”数学大师的直觉当然不是每个人能模仿的，但是我们的确可以改变对一些数学物体的想像方法，来改善自己的直觉，使得它更有合理性。

当我们谈到集合的大小，这里所谈论的集合应该是没有附加的数学结构的。当所比较的集合都是自然数的子集时，直觉往往会偷偷地把自然数的数学结构加在上面。什么是数学结构?让我们先从最一般的集合说起。当我们谈论集合时,高中语文，我们只应该把它看做一个装着元素的大袋子，里面的元素之间没有任何联系，比如说自然数集合，我们应该想像那是一个装了标了号的球(或者其他什么)的大袋子，球和球之间并没有什么联系，10并不一定非得在100的前面出现，如果你把口袋使劲抖抖，里面的球有些翻上来有些被压到底下去，但这并不改变这个集合——这仍然是自然数集合。