2013年5月，张益唐在《数学年刊》上发表《素数间的有界距离》，这一年他55岁，只是新罕布什尔大学一位默默无闻的大学讲师。

　　“从来没有数学家应该让自己忘记，数学比其他任何艺术或科学更应该是年轻人的游戏。”著名数学家哈代（G.H.Hardy）曾写道，“我从不知道有哪个数学上的重大突破是由一个超过50岁的人提出来的。”

　　张益唐研究的问题通常被称为“素数间隔”（boundgaps），其中涉及到“素数”这个概念——也被称为质数，指那些只能被1和其自身整除的数，比如2、3、5、7、11、19等。在这些素数中，指差为2的素数对（p和p+2同为素数）又称为孪生素数，比如（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，19）等。随着数字变大，人们可以观察到的孪生素数越来越少。

　　那么，会不会有一天再也找不到新的孪生素数呢？这就是几百年前的“孪生素数猜想”：对所有自然数k（k=1），存在无穷多个素数对（p，p+2k）。这个猜想和负有盛名的黎曼猜想、哥德巴赫猜想一道成为著名的希尔伯特第八问题中的一部分。

　　但很显然，猜想需要有人去证明。加州圣荷西大学教授戈德斯通、匈牙利科学院阿尔弗雷德·莱利数学研究所成员平兹等学者从2005年开始共同研究这一课题。戈德斯通曾表示自己不会在有生之年得到答案，“这是之前以为可能永远无法解决的问题之一。”

　　“我的成果没什么实际用处。”张益唐如此评价自己的研究。

　　“你必须想象这来源于虚无。”格林贝格说，“这就像认为宇宙是无限的，没有边际的，结果发现它有终结。”想象有一把可以运用到一组绿色和红色数字的尺子。张益唐选择了一把长达七千万（个数字）的尺子，因为如此大的数字更容易证明他的猜想。

　　张益唐利用的是一种筛选法，通过复杂的形式找到了素数。发明这种筛选法的是公元前三世纪的希腊天文学家、数学家和地理学家埃拉托色尼，因此也被成为埃拉托色尼筛选法。张益唐说，用这个简单的筛选法找到1000以下的素数，写下所有的数字，然后删除2的倍数，因为这些数是偶数，不可能是素数。然后删除3的倍数，5的倍数，以此类推，一直到31的倍数。张益唐所用的筛选法不同于其他人。此前的筛选方法将间距遥远的数字排除了，用这种方法，加州圣荷西大学的戈德斯通、匈牙利数学家平兹及数学家伊尔迪里姆已经证明了存在无穷多组间距小于定值的素数对，但是他们没有确定这个定值是多少，张益唐的成果部分在于这种筛选方法的可选择性少。从张益唐的研究结果来看，推演是成立的，他证明了存在无穷多对素数，其差小于7000万。尽管7000万是个很大的数字，这是第一次有人正式证明存在无穷多组间距小于定值的素数对。一位数学家说，推演出这个根据的是鸽巢原理。