空间几何体

常见易错题、典型陷阱题精讲

1.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A.＋πB.＋π

C.＋πD.1＋π

答案　C

2.封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是（）

A.4πB.C.6πD.

答案　B

解析　由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为。

3.在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）

A.B. C. D.2π

答案　C

解析　过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝，故选C.

.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（）资*源%库

A.16B.8＋8

C.2＋2＋8D.4＋4＋8

答案　D

S△PAB＝S△PBC＝×2×2＝2.

所以几何体的表面积为4＋4＋8.

.在正三棱锥S－ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝2，则正三棱锥S－ABC的外接球的表面积为（）

A.6πB.12π

C.32πD.36π

答案　B

.已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________.

答案

解析　如图所示，

设圆柱的底面半径为r，则圆柱的侧面积为S＝2πr×2＝4πr≤4π×＝2π（当且仅当r2＝1－r2，即r＝时取等号）。

所以当r＝时，

＝＝。

.如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是________.

答案

.已知在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝PA＝2，且在△ABC中，∠BAC＝120°，则三棱锥P—ABC的外接球的体积为________.资*源%库

答案

解析　由余弦定理得：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，

∴BC2＝22＋22－2×2×2×（－）＝12，

∴BC＝2.设平面ABC截球所得截面圆半径为r，则2r＝＝4，所以r＝2.由PA＝2且PA⊥平面ABC知球心到平面ABC的距离为1，所以球的半径为R＝＝，所以V球＝πR3＝。

.如图，侧棱长为2的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面△AEF，则截面△AEF的周长的最小值为____________.

答案　6

1.如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上。过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置（点A与点P重合），使得∠PEB＝30°。

（1）求证：EF⊥PB；

（2）试问：当点E在何处时，四棱锥P—EFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥P—EFCB的体积。

（1）证明　∵EF∥BC且BC⊥AB，

∴EF⊥AB，即EF⊥BE，EF⊥PE.

又BE∩PE＝E，∴EF⊥平面PBE，

又PB?平面PBE，∴EF⊥PB.

（2）解　设BE＝x，PE＝y，则x＋y＝4.

∴S△PEB＝BE·PE·sin∠PEB

＝xy≤2＝1.

当且仅当x＝y＝2时，S△PEB的面积最大。

此时，BE＝PE＝2.

易错起源1、三视图与直观图

例1（1）（2016·课标全国甲）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

A.20πB.24πC.28πD.32π

（2）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）

答案　（1）C　（2）D

（1）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）

（2）一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）

答案　（1）D　（2）B

空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果。

【技巧点拔】

1.一个物体的三视图的排列规则

俯视图放在正（主）视图的下面，长度与正（主）视图的长度一样，侧（左）视图放在正（主）视图的右面，高度与正（主）视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样。即“长对正、高平齐、宽相等”。Ziyuanku.com

2.由三视图还原几何体的步骤

一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体。

易错起源、几何体的表面积与体积

例2（1）（2016·北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

A.B.C.D.1

（2）如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分$来源：ziyuanku.com别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连接EF，FB，DE，BD，则几何体EFC1－DBC的体积为（）

A.66B.68

C.70D.72

答案　（1）A　（2）A

故所求几何体EFC1－DBC的体积为66.

某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________.

答案

（1）求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和。

（2）求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差。求解时注意不要多算也不要少算。

【技巧点拔】

空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧。

易错起源、多面体与球

例3（1）已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为（）

A.4πB.12π

C.16πD.64π

（2）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）

A.cm3B.cm3

C.cm3D.cm3

答案　（1）C　（2）A

解析　（1）在△ABC中，

设球心为点O，球半径为Rcm，正方体上底面中心为点A，上底面一边的中点为点B，

在Rt△OAB中，OA＝（R－2）cm，

AB＝4cm，

OB＝Rcm，

由R2＝（R－2）2＋42，得R＝5，

∴V球＝πR3＝π（cm3）。故选A.

在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，

AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为，则三棱锥A－BCD的外接球体积为________.

答案　π

三棱锥P－ABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形：

（1）点P可作为长方体上底面的一个顶点，点A、B、C可作为下底面的三个顶点；

（2）P－ABC为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线。

【技巧点拔】

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图。如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径。球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径。球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心（或“切点”“接点”）作出截面图。

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1.如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（）

答案　B

解析　由所截几何体可知，FC1被平面AD1E遮挡，可得B图。

2.下图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为（）

A.2B.

C.D.

答案　D

解析　多面体ABCDE为四棱锥（如图），利用割补法可得其体积V＝4－＝，选D.

3.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）

A.8－2πB.8－π

C.8－D.8－

答案　B

解析　由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱而成，所以该几何体的体积为V＝（22－2××π×12）×2＝8－π。

4.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16＋20π，则r等于（）

A.1B.2C.4D.8

答案　B

解析　如图，

该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝（5π＋4）r2.又S＝16＋20π，

（5π＋4）r2＝16＋20π，r2＝4，r＝2，故选B.

5.如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD平面BCD，若四面体A′BCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）

A.πB.3π

C.πD.2π

答案　A

解析　如图所示，

6.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），ABC＝45°，AB＝AD＝1，DCBC，则这块菜地的面积为________.

答案　2＋

解析　如图，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为点E，

则在Rt△ABE中，AB＝1，ABE＝45°，BE＝。

而四边形AECD为矩形，AD＝1，

EC＝AD＝1，BC＝BE＋EC＝＋1.

7.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2，体积是________cm3.

答案　72　32

解析　由三视图可知，该几何体为两个相同长方体的组合，长方体的长、宽、高分别为4cm、2cm、2cm，其直观图如下：

其体积V＝2×2×2×4＝32（cm3），由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为S＝2（2×2×2＋2×4×4）－2×2×2＝2×（8＋32）－8＝72（cm2）。

8.如图所示，从棱长为6cm的正方体铁皮箱ABCD—A1B1C1D1中分离出来由三个正方形面板组成的几何图形。如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛的水的体积为________cm3.

答案　36

9.一块石材表示的几

何体的三视图如图所示。将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于____________.

答案　2

解析　由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示。

由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r＝×（6＋8－10）＝2.

10.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形。

（1）求该几何体的体积V；

（2）求该几何体的侧面积S.

解　由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥E－ABCD.

（1）V＝×（8×6）×4＝64.