2017-04-13
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专题18 不等式选讲
常见易错题、典型陷阱题精讲
1.已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)2的解集。
(1)求M;
(2)证明:当a,b∈M时,|a+b||1+ab|.
(1)解 f(x)=
当x≤-时,由f(x)2得-2x2,
2.已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围。
解 (1)当a=1时,f(x)1化为|x+1|-2|x-1|-10.
当x≤-1时,不等式化为x-40,无解;
当-10,解得0,解得1≤x2.
所以f(x)1的解集为。
(2)由题设可得,f(x)=
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),
△ABC的面积为(a+1)2.
由题设得(a+1)26,故a2.
所以a的取值范围为(2,+∞)。
.解不等式|x+3|-|2x-1|+1.
解 ①当x-3时,原不等式转化为-(x+3)-(1-2x)+1,解得x10,∴x-3.
②当-3≤x时,原不等式转化为(x+3)-(1-2x)+1,解得x-,∴-3≤x-。
③当x≥时,原不等式转化为(x+3)-(2x-1)+1,解得x2,∴x2.
综上可知,原不等式的解集为{x|x-或x2}.
.设a,b,c均为正实数,试证明不等式++≥++,并说明等号成立的条件。
.若a、b、c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+。求证:a、b、c中至少有一个大于0.
证明 假设a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,
所以a+b+c≤0.
而a+b+c=(x2-2y+)+(y2-2z+)+(z2-2x+)
=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π
=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3.
所以a+b+c0,这与a+b+c≤0矛盾,
故a、b、c中至少有一个大于0.
易错起源1、含绝对值不等式的解法
例1已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;
(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值。
解 (1)当a=2时,
(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),
则h(x)=
由|h(x)|≤2,解得≤x≤。
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},
所以于是a=3
已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.
(1)证明:-3≤f(x)≤3;
(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集。
(1)证明 f(x)=|x-2|-|x-5|=
当2a(a0)?f(x)a或f(x)-a;
(2)|f(x)|0)?-ay.求证:2x+≥2y+3.
(2)已知实数x,y满足:|x+y|,|2x-y|,
求证:|y|.
证明 (1)因为x0,y0,x-y0,
2x+-2y
=2(x-y)+
=(x-y)+(x-y)+
(1)若a,b∈R,求证:≤+。
(2)已知a,b,c均为正数,a+b=1,求证:++≥1.
证明 (1)当|a+b|=0时,不等式显然成立。
当|a+b|≠0时,由0|a+b|≤|a|+|b|?≥,所以=≤=≤+。
(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c,Ziyuanku.com
所以++≥1.
(1)作差法应该是证明不等式的常用方法。作差法证明不等式的一般步骤:①作差;②分解因式;③与0比较;④结论。关键是代数式的变形能力。
(2)在不等式的证明中,适当“放”“缩”是常用的推证技巧。
【技巧点拔】
1.含有绝对值的不等式的性质
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
2.算术—几何平均不等式
定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时,等号成立。
定理2:如果a、b为正数,则≥,当且仅当a=b时,等号成立。
定理3:如果a、b、c为正数,则≥,当且仅当a=b=c时,等号成立。
定理4:(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1,a2,…,an为n个正数,则≥,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立。
易错起源、柯西不等式的应用资*源%库
例3 (2015·福建)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.
(1)求a+b+c的值;
(2)求a2+b2+c2的最小值。
解 (1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,当且仅当-a≤x≤b时,等号成立。又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b.
即a=,b=,c=时等号成立。
故a2+b2+c2的最小值为。
已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a.ziyuanku.com
(1)求a的值;
(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.
(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形,化为符合它的结构形式,当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时,就可使用柯西不等式进行证明。
(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为
(a+a+…+a)(++…+)≥(1+1+…+1)2=n2.在使用柯西不等式时,要注意右边为常数且应注意等号成立的条件。
【技巧点拔】
柯西不等式
(1)设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立。
(2)设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立。
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1.如果关于x的不等式|x-3|-|x-4|-1时,不等式的解集不是空集。
即实数a的取值范围是(-1,+∞)。
2.设x0,y0,若不等式++≥0恒成立,求实数λ的最小值。
解 x0,y0,原不等式可化为-λ≤(+)·(x+y)=2++。
2++≥2+2=4,
当且仅当x=y时等号成立。
[(+)(x+y)]min=4,-λ≤4,λ≥-4.即实数λ的最小值是-4.
3.若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围。
解 设y=|2x-1|+|x+2|=
任意实数x恒成立,所以≥a2+a+2.解不等式≥a2+a+2,得-1≤a≤,故a的取值范围为[-1,].
4.设不等式|x-2||x+1|成立,求实数x的取值范围。
解 由柯
西不等式知
[12+()2+()2][a2+(b)2+(c)2]
≥(1·a+·b+·c)2
即6×(a2+2b2+3c2)≥ (a+2b+3c)2.
又a2+2b2+3c2=6,
6×6≥(a+2b+3c)2,
-6≤a+2b+3c≤6,存在实数a,b,c,使得不等式a+2b+3c|x+1|成立。
|x+1|6,-70.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值。
解 (1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.
由此可得x≥3或x≤-1.
故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.
(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0.
此不等式化为不等式组
或
即或
因为a0,所以不等式组的解集为{x|x≤-}.
由题设可得-=-1,故a=2.
8.已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x-1|.当xR时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围。
解得a≥2.
所以a的取值范围是[2,+∞)。
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