专题18 不等式选讲

常见易错题、典型陷阱题精讲

1.已知函数f（x）＝＋，M为不等式f（x）2的解集。

（1）求M；

（2）证明：当a，b∈M时，|a＋b||1＋ab|.

（1）解　f（x）＝

当x≤－时，由f（x）2得－2x2，

2.已知函数f（x）＝|x＋1|－2|x－a|，a0.

（1）当a＝1时，求不等式f（x）1的解集；

（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围。

解　（1）当a＝1时，f（x）1化为|x＋1|－2|x－1|－10.

当x≤－1时，不等式化为x－40，无解；

当－10，解得0，解得1≤x2.

所以f（x）1的解集为。

（2）由题设可得，f（x）＝

所以函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B（2a＋1,0），C（a，a＋1），

△ABC的面积为（a＋1）2.

由题设得（a＋1）26，故a2.

所以a的取值范围为（2，＋∞）。

.解不等式|x＋3|－|2x－1|＋1.

解　①当x－3时，原不等式转化为－（x＋3）－（1－2x）＋1，解得x10，∴x－3.

②当－3≤x时，原不等式转化为（x＋3）－（1－2x）＋1，解得x－，∴－3≤x－。

③当x≥时，原不等式转化为（x＋3）－（2x－1）＋1，解得x2，∴x2.

综上可知，原不等式的解集为{x|x－或x2}.

.设a，b，c均为正实数，试证明不等式＋＋≥＋＋，并说明等号成立的条件。

.若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋。求证：a、b、c中至少有一个大于0.

证明　假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，

所以a＋b＋c≤0.

而a＋b＋c＝（x2－2y＋）＋（y2－2z＋）＋（z2－2x＋）

＝（x2－2x）＋（y2－2y）＋（z2－2z）＋π

＝（x－1）2＋（y－1）2＋（z－1）2＋π－3.

所以a＋b＋c0，这与a＋b＋c≤0矛盾，

故a、b、c中至少有一个大于0.

易错起源1、含绝对值不等式的解法

例1已知函数f（x）＝|x－a|，其中a＞1.

（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥4－|x－4|的解集；

（2）已知关于x的不等式|f（2x＋a）－2f（x）|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值。

解　（1）当a＝2时，

（2）记h（x）＝f（2x＋a）－2f（x），

则h（x）＝

由|h（x）|≤2，解得≤x≤。

又已知|h（x）|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，

所以于是a＝3

已知函数f（x）＝|x－2|－|x－5|.

（1）证明：－3≤f（x）≤3；

（2）求不等式f（x）≥x2－8x＋15的解集。

（1）证明　f（x）＝|x－2|－|x－5|＝

当2a（a0）？f（x）a或f（x）－a；

（2）|f（x）|0）？－ay.求证：2x＋≥2y＋3.

（2）已知实数x，y满足：|x＋y|，|2x－y|，

求证：|y|.

证明　（1）因为x0，y0，x－y0，

2x＋－2y

＝2（x－y）＋

＝（x－y）＋（x－y）＋

（1）若a，b∈R，求证：≤＋。

（2）已知a，b，c均为正数，a＋b＝1，求证：＋＋≥1.

证明　（1）当|a＋b|＝0时，不等式显然成立。

当|a＋b|≠0时，由0|a＋b|≤|a|＋|b|?≥，所以＝≤＝≤＋。

（2）因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，

故＋＋＋（a＋b＋c）≥2（a＋b＋c），

即＋＋≥a＋b＋c，Ziyuanku.com

所以＋＋≥1.

（1）作差法应该是证明不等式的常用方法。作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论。关键是代数式的变形能力。

（2）在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧。

【技巧点拔】

1.含有绝对值的不等式的性质

|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.

2.算术—几何平均不等式

定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立。

定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立。

定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立。

定理4：（一般形式的算术—几何平均不等式）如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立。

易错起源、柯西不等式的应用资*源%库

例3　（2015·福建）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.

（1）求a＋b＋c的值；

（2）求a2＋b2＋c2的最小值。

解　（1）因为f（x）＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|（x＋a）－（x－b）|＋c＝|a＋b|＋c，当且仅当－a≤x≤b时，等号成立。又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b.

即a＝，b＝，c＝时等号成立。

故a2＋b2＋c2的最小值为。

已知定义在R上的函数f（x）＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.ziyuanku.com

（1）求a的值；

（2）若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.

（1）使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明。

（2）利用柯西不等式求最值的一般结构为

（a＋a＋…＋a）（＋＋…＋）≥（1＋1＋…＋1）2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件。

【技巧点拔】

柯西不等式

（1）设a，b，c，d均为实数，则（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，当且仅当ad＝bc时等号成立。

（2）设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则（a＋a＋…＋a）（b＋b＋…＋b）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）2，当且仅当bi＝0（i＝1,2，…，n）或存在一个数k，使得ai＝kbi（i＝1,2，…，n）时，等号成立。

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1.如果关于x的不等式|x－3|－|x－4|－1时，不等式的解集不是空集。

即实数a的取值范围是（－1，＋∞）。

2.设x0，y0，若不等式＋＋≥0恒成立，求实数λ的最小值。

解　x0，y0，原不等式可化为－λ≤（＋）·（x＋y）＝2＋＋。

2＋＋≥2＋2＝4，

当且仅当x＝y时等号成立。

[（＋）（x＋y）]min＝4，－λ≤4，λ≥－4.即实数λ的最小值是－4.

3.若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围。

解　设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝

任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范围为[－1，].

4.设不等式|x－2||x＋1|成立，求实数x的取值范围。

解　由柯

西不等式知

[12＋（）2＋（）2][a2＋（b）2＋（c）2]

≥（1·a＋·b＋·c）2

即6×（a2＋2b2＋3c2）≥ （a＋2b＋3c）2.

又a2＋2b2＋3c2＝6，

6×6≥（a＋2b＋3c）2，

－6≤a＋2b＋3c≤6，存在实数a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c|x＋1|成立。

|x＋1|6，－70.

（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x＋2的解集；

（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值。

解　（1）当a＝1时，f（x）≥3x＋2可化为|x－1|≥2.

由此可得x≥3或x≤－1.

故不等式f（x）≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}.

（2）由f（x）≤0得|x－a|＋3x≤0.

此不等式化为不等式组

或

即或

因为a0，所以不等式组的解集为{x|x≤－}.

由题设可得－＝－1，故a＝2.

8.已知函数f（x）＝|2x－a|＋a.

（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；

（2）设函数g（x）＝|2x－1|.当xR时，f（x）＋g（x）≥3，求a的取值范围。

解得a≥2.

所以a的取值范围是[2，＋∞）。