2017-03-14
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(一)三角形的重心
已知:△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F.求证:F为AB中点。
证明:根据燕尾定理,S(△AOB)=S(△AOC),又S(△AOB)=S(△BOC),S(△AOC)=S(△BOC),再应用燕尾定理即得AF=BF,命题得证。
重心的几条性质:
1.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
2.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
3.在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系横坐标:(X1+X2+X3)/3纵坐标:(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标:(Z1+Z2+Z3)/3
4重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.
5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
如果用塞瓦定理证,则极易证三条中线交于一点。
(二)相似三角形
1相似三角形对应角相等、对应边成比例。
2相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比)。
3相似三角形对应面积的比等于相似比的平方。
(三)三角形全等
全等的条件
1.两个三角形对应的两边及其夹角相等,两个三角形全等,简称边角边或SAS。
2.两个三角形对应的两角及其夹边相等,两个三角形全等,简称角边角或ASA。
3.两个三角形对应的两角及其一角的对边相等,两个三角形全等,简称角角边或AAS。
4.两个三角形对应的三条边相等,两个三角形全等,简称边边边或SSS。
5.两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等,两个直角三角形全等,简称直角边、斜边或HL。
注意,证明三角形全等没有SSA或边边角的方法,即两边与其中一边的对角相等无法证明这两个三角形全等,但从意义上来说,直角三角形的HL证明等同SSA。
(四)内角和
在欧几里得的几何体系中,三角形都是平面上的,所以三角形的内角和为180度;三角形的一个外角等于两个不相邻的内角的和;三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
证明:根据三角形的外角和等于内角可以证明,详细参见《培优:走进三角形》
如何证明三角形的内角和等于180
方法1:将三角形的三个角撕下来拼在一起,可求出内角和为180。
方法2:在三角形任意一个顶点处做辅助线,可求出内角和为180。
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