函数的奇偶性与周期性_考前复习

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函数的奇偶性与周期性 2017-03-03 收藏

一、函数的奇偶性

1.定义：对于函数f（x），如果对于定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么f（x）为奇函数；

对于函数f（x），如果对于定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么f（x）为偶函数；

2.性质：

（1）函数依据奇偶性分类可分为：奇函数非偶函数，偶函数非奇函数，既奇且偶函数，非奇非偶函数；

（2） f（x），g（x）的定义域为D；

（3）图象特点：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于原点对称；

（4）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件，奇函数f（x）在原点处有定义，则有f（0）=0；

（5）任意一个定义域关于原点对称的函数f（x）总可以表示为一个奇函数与偶函数的和的形式：f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）=-[f（x）+f（-x）]为偶函数，h（x）=-[f（x）-f（-x）]为奇函数；

（6）奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性。

3.判断方法：

（1）定义法

（2）等价形式：f（-x）+f（x）=0，f（x）为奇函数；

f（-x）-f（x）=0，f（x）为偶函数。

4.拓展延伸：

（1）一般地，对于函数y=f（x），定义域内每一个自变量x，都有f（a+x）=2b-f（a-x），则y=f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称；

（2）一般地，对于函数y=f（x），定义域内每一个自变量x都有f（a+x）=f（a-x），则它的图象关于x=a成轴对称。

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