解三角形应用举例

正余弦定理在有关距离问题中的应用

例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离55cm，∠BAC=51o， ∠ACB=75o，求A、B两点间的距离(精确到0.1m)

例2、A、B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量两点间的距离的方法。

分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β,∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在⊿ADC和⊿BDC中，应用正弦定理得。

点评

测量不可到达的两点间的距离时：

若是其中一点可以到达，利用一个三角形即可解决，一般用正弦定理;若是两点均不可到达，则需要用两个三角形才能解决，一般正、余弦定理都要用到.

例3.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长(精确到0.01m).

(1)什么是最大仰角?

(2)例题中涉及一个怎样的三角形?在△ABC中已知什么，要求什么?

练习1：如图7所示，隔河可以看见目标A，B，但不能到达，在岸边选择相距 km的C，D两点，并测得DCB=45°，∠BDC=75°，∠ADC=30°，∠ACD=120°(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离.

练习2.一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向.若货轮的速度为30 n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时，求A，D两处的距离.

课堂小结

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