一、传统数学课堂教学存在的问题

过于关注知识的存储，忽视思维的连续建构与生长。传统的数学课堂教学过于关注教材和数学知识本身，忽视分析、探索过程，导致学生被动地接受静态的知识，注重纯粹技能技巧和题型训练、结论与符号记忆，所获得的知识处于条块分割的状态，阻碍了数学知识意义和体系的建构，因此学生在数学学习时思维空间狭窄，极易出现建构偏差甚至建构错误。学生数学反思能力欠缺，自主意识被抑制。重结论轻过程的数学教学没有给学生留下足够的时间、空间去思考，使学生感性层面的粗浅经验无法经历考察、比较、归纳等思辨过程。学生的思维过程缺乏灵活性和批判性，解题思路单一、过程烦琐、逻辑混乱，对一些问题的理解带有片面性和主观性。表征方式割裂、孤立，表征转换僵滞费力。数学学习是通过数学活动建立对数学对象的心理表征和认知图式的过程。当前数学教学过程中各种表征方式孤立、割裂，相互之间的联系不够，导致学生缺乏加工多元表征信息的意识、能力与习惯，常常无法顺利地找出完成当前任务较为合适的表征，无法对同一问题众多的表征方式进行整合。数学交流深度不够，课堂教学走向僵化和呆板。传统的数学教学片面追求知识的理解和问题的求解思路，内容狭窄、交流形式单一、效率低下，导致学生在交流过程中存在从众与退缩心理，缺乏质疑问难精神和交流意识，且常常停留在表面化、形式化、单向化和静态化的阶段。前后知识跨度太大，数学活动经验被忽视。以往的数学教学忽视学生已有知识经验，前后知识之间跨度太大，知识联系断层，导致学生产生对数学新活动潜在的排斥和抵制情绪，缺少积极主动的学习方式，数学活动也因此变得干瘪和肤浅。

二、数学课堂教学实效性探究

传统数学课堂教学存在的诸多问题对数学课程改革提出了挑战。如何优化数学课堂教学，探讨具备实效性和生命力的数学课堂教学模式，成为数学教育理论与实践亟须探索的问题。本文尝试以弗赖登塔尔数学教育思想为基础，探索数学课堂教学运行模式。

(一)激活已有的知识，彰显长时记忆中的图式

弗赖登塔尔教授认为:数学教学应以原有的数学现实为基础，摆脱孤立的片断，从而达到学得快，记得牢的目的。学生的数学活动经验是通过观察和反思而得到的个体知识，是学习者形成的感性认识不断积累、演变、提升和内化成的理性知识，是动作与心智交互作用的结果。不同的人有不同的数学现实基础，这就决定了学生参与数学活动的已有知识经验是以知识的整体结构为根据的直接而迅速的认识，其基础、目的、期望和个人认知策略等因素都影响数学学习的行为和方式。在数学教学中，教师应注意从新旧知识的衔接点入手，在学生原有认知结构的基础上发展新知识，引导学生全面地、开放地参与教师创设的数学活动。教师设计的问题要由浅入深，有坡度，有层次。因此，教师应该尽量创设与学生的数学现实密切联系的、蕴含源于现实的情境性任务，引导学生在完成任务的过程中检索、重组背景知识，唤醒与数学学习相关的智能储备，并以自己独特的方式重新编码，构建新的活动经验，促进新旧知识的同化和顺应，并最终建构起数学知识的意义和逻辑关系。

(二)以数学操作活动为依托，创设再创造的契机

弗赖登塔尔提出:数学教学要抓住再创造这一核心，不是机械重复历史中的原始创造，而是通过学习者的思维方式再创相关的数学知识。因此，数学教学要让学生自己动手、观察、试验，在思维的抽象性和形象性间搭起一座桥梁，并把知识变成头脑中的图式。教师要重视知识发生的过程，引导学生以活动促思维，通过多种形式观察问题、探索规律、挖掘本质，从而经历数学思维与应用的过程。在这个实际操作过程中，学生通过分析与猜想、批判与反驳、推理与证明，发现现实世界和符号情境中的模式、结构和规律，明白数学知识的意义和结构性。在这个过程中，学生的思维实现创新性的突破和重组，在再认识、再发现、再创造的过程中建构起新的数学知识结构。

(三)利用多种感觉通道，探究多元表征之间的关联和转化

数学知识是在不同层次的言语、图表和符号等交织中存在的。由于学生思维的不连续性和层次差异，教师创设的教学活动应该在满足科学性并且总体上符合知识体系的前提下，有步骤地引导学生将问题转化成多样的数学表征，通过直观的言语、图表、文字、操作以及抽象符号等表征，拓宽问题解决的思路，优化问题解决策略。不同表征的相互转换，能促进学生经由多重视角认识、分析问题，增强对解题方法以及解题过程的自我意识，形成对数学概念和关系的理解，重组相关数学概念的结构。教师应不断引导学生在多种表征中进行协调和选择，最终确定合适的表征形式。同时，教师要引导学生构造、提炼个性化表征，并在发散与收敛的思考中灵活理解、运用各种表征。

(四)构造具备迁移性的数学认知结构，培养学生的反思习惯

弗赖登塔尔指出:反思是重要的数学活动，它是数学活动的核心和动力。数学的发展具有层次性，学生只有经过思考、追问、反馈与修正，才能深化与完善数学思维，真正抓住数学思维的内在实质。教师要努力为学生创设思考质疑的时空，并在知识的重点、疑难之处加以引导、点拨，让学生反思数学思想方法的发展和形成过程，抽象、概括出有关概念、原理和规律，再追问、批判和改进经验。学生只有经过反思建立起学习材料与数学规律之间内在联系，才能改变思维保守、封闭的状态，洞察数学事实的本质，具备较强的知识迁移能力。

(五)嵌入问题情境，构建学生认知的脚手架

教师应积累、筛选大量的教学素材，设计层层递进的问题链，并注重增设开放性、探索性的问题情境，为学生营造逐层深入的探究环境，通过问题的发现、表征、探究、言说和解决来引导学生思考和加工、抽象和概括、回顾和归纳，在掌握知识的同时学习科学的思维方法和研究方法。此外，教师要引导学生在分析、思考问题的过程中深入挖掘隐含信息，抓住数学活动的本质特征，提炼数学思想方法，并逐步将其内化为个体认知结构图式中相对稳定的一部分，促进横向数学化的顺利进行。

(六)以情优教，彰显课堂的生命意义

情感体验是学生主体对内在需要、动机和外在行为、状态的价值性体验，既包括对师生之间、学生之间的社会关系的体验和认识，也包括对活动世界意志活动的认识。知识是情感的载体，数学学习是包含情意和人格系统的整体性学习。教师应通过语言、表情、动作等为每一种不同的认知形式或活动方式创设积极的情感因素，营造富有情趣的教学氛围，促使学生在深层次意识领域中形成学习、探索的心理倾向，进而通过观察捕捉动态变化中的数学关系，感受和鉴赏数学结构的内涵美、思维的奇异美、逻辑的严谨美、方法的巧妙美，进而达到知情碰撞、促进和交融的效果。这些情感体验包括学习过程中对活动的感受、认识、想法和情感的交流，还包括经历过程时体验的失意、尴尬、焦虑、惊奇、顿悟、兴奋、满足等各种情感。

(七)鼓励数学交流，激起学生思维的碰撞

弗赖登塔尔曾说:数学学习的过程就是要通过数学语言接收、加工、传递信息，披露学生内心世界以及思维方式方法。数学互动交流可以缩短师生心理距离，促进教师和学生建构动态的关系，达到取长补短、集思广益和意义生成的效果。在实际教学中，教师可以联系实际生活和科技发展的知识，要求学生运用类比、归纳、直觉、联想等方法把思维变成外部言语，最大限度地发挥数学语言的科学性、逻辑性和严谨性。教师应该鼓励学生进行信息沟通、思想共享，使学生在反驳、答疑、研讨、争辩中借鉴他人的思路和想法，丰盈自身的知识体系，生成新的观点和认识;使学生在与外界信息接触、碰撞、排斥、同化、吸纳、沟通中寻找、组织和应用有关数量、空间等信息，解释、建构数学概念，发展和深化对数学的理解。在教学过程中，教师应容纳不同思维轨道的交流活动，因为只有当互动交流真正成为一种需要和内驱力时，学生对数学活动对象的认识才能从外在表现形式转向内在实质。