(一)解析几何中的运动问题

解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型,09、10、11年高考数学选择填空压轴题都出现了运动问题。即新课标高考数学思维从传统分析静态模型转变为分析动态模型。因此考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特殊值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。

在解此类创新题型时,往往需要融入生活中的很多思想,加上题目中所给信息相融合。在数学层面上,需要考生善于从各个角度与考虑问题,将思路打开,同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。

(二)新距离

近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题,考生需要懂得坐标系中坐标差的原理,对于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。近两年高考大题中均涉及到了新距离问题,可是高考所考察的内容不再新距离本身,而在于建立新的数学模型情况下,考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。比如2011年压轴题,对于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题,由于每个位取值情况均相同,故只需考虑一个位就行了。在大题具体解题中笔者会详细叙述。

(三)新名词

对于题目中出现了新名词新性质,考生完全可以从新性质本身出发,从数学思维角度理解新性质所代表的数学含义。此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型,然后描述的简洁透彻,让考生通过此类描述去挖掘性质。新课标数学追求对数学思维的自然描述,即不会给学生思维断层、非生活常规思路(北京海淀区2012届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于非常规思路)。比如2009年北京卷文科填空压轴题,就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元,这样肯快就可以得到答案。

(四)知识点性质结合

此类题型主要结合函数性质、图象等知识点进行出题,此类题一般只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。比如2011年高考北京卷填空压轴题,需要考生掌握轨迹与方程思想,方程与曲线关于变量与坐标的一一对应关系。再比如2009年北京卷填空压轴题,就是对数列递推关系进行了简单的扩展,考生只要严格按照题目的规则代入就可得到答案。此类题型需要考生对于知识点的原理、思维方法有深层次的理解才能够很快做出答案。上面提到的两道题均没有考对应知识点的细节处理问题,而是上升的数学思维方法的层次。

(五)情境结合题

此类题型属于与现实模型、数学特殊模型等相结合的题目。此类题型主要考察学生对于具体数学情境的体会,比如2010年填空压轴题是正方形在坐标轴上旋转的问题,这道题考查考生对于正方形旋转过程中指定点运动拐点的体会。此类题需要考生具有一定的数学思维推理、数学抽象归纳能力。解此类题只需像分析物理模型一样去分析题目所给出的具体情境,即可将原题进行分解。