2016-11-22 收藏
a.在某城市的一个公园中,有一个较大的圆形区域可以利用。当地政府打算在这个地方修建一个菱形水池。
b.修建方案呈送市长道利斯匆明女士,市长很高兴。“菱形建筑红色瓷砖,真漂亮。请问这个水池每边多长?”
c.建筑师福兰克·余春一时语塞。“让我想想,AB长5米,BC长4米,要求出BD的长度,恐怕要用一下勾股定理。”
d.就在余春先生煞费苦心求解时,市长忽然嚷道:“很显然水池每边9米嘛!”
e.余春先生恍然大悟,惭愧地说:“看来你的确是匆明(聪明),我真是余春(愚蠢)啊!”
f.真是轻而易举,问题怎么会这么简单?
对角线与半径
匆明女士突然看出来,水池的一边是一个矩形的对角线,而该矩形的另一条对角线恰是这个圆形区域的半径。一个矩形的对角线应是相等的,半径是5+4=9米,因此水池的每边长是9米,根本不必用勾股定理。
请注意这个解题技巧的意义。你也可以用其它常规的解答方法试试看,如果你只用勾股定理和三角形的有关知识去求解,那么解题过程恐怕是冗长繁琐的。平面几何中有一个定理:同一圆内两弦相交,那么一条弦被交点分成的两部分之积等于另一条弦两部分之积。如果你记住了这个定理,那么解题过程还可能简化一些。根据这个定理可以得出右边三角形的高度是56的平方根。再应用勾股定理可以算出右边三角形的斜边是9米。
还有一个与此相类似的问题,便是诗人亨利·龙菲洛(Henry Longfellow)在他的小说《卡文那》(Kavenaugh)中提到的关于睡莲的问题(见图2-4)。当睡莲的茎向上直立时,花高出湖面10厘米;如果你把睡莲拉向一边,始终保持茎是直的,花在距茎向上直立时与水面的接触点21厘米远处接触水面,请问水有多深?
图2-4
解决这个问题首先要画一张示意图,如上图所示。这里画图就像解决游泳池的边长问题需要画图一样十分必要,我们的目标是确定x的长度,解决这个问题的方法同样不止一个,但如果你记住了相交弦定理,那么这个问题便迎刃而解了。
这里还有一个关于游泳池的有趣的问题,如知道技巧便可很快解决。一只海豚在一个圆形游泳池的西岸边A点,沿直线向前游12米,到达岸边B点;调转一个方向再游5米,到达岸边C点,而C点刚好和海豚出发处A点相对。请问海豚从A点直接游到C点需游多少米?
解决问题的技巧是,有一个定理:半圆所对的圆周角是直角。因此三角形ABC是直角三角形。这里已知两条直角边是5和12,那么斜边自然是13米。
以上几个问题都说明这样一个道理:解决某些几何问题,有时应用欧几里德几何学的一些最基础的知识,就可以使问题变得相当简单。
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