猴子的平均分配_趣味数学

猴子的平均分配 2016-10-28 收藏

把1600颗花生分给100只猴子。求证：无论怎么分都会有四只猴子分得的花生一样多。

我们边分析边计算研究一下这个问题。

假如我们想设计一种分法，希望没有四只猴子分得的花生一样多，显然，最省花生的办法是给三只猴子各0颗花生，给三只猴子各1颗花生，给三只猴子各2颗花生，给三只猴子各3颗花生，…，给三只猴子各32颗花生，给最后一只猴子33颗花生。这相当于我们把这100只猴子中的99只平均分成33组，每组中的猴子各得0~32颗花生，最后一只猴子分得33颗花生。

如果这种分配方案所需的花生总数少于1600颗，可以把剩下的花生都给最后的那只猴子，这样可以保证没有四只猴子得到一样多的花生。

如果这种分配方案所需的花生总数恰好是1600颗，那正符合我们的心意，恰好把1600颗花生分给100只猴子，没有四只猴子分得一样多的花生。

但是如果这种分配方案所需的花生总数多于1600颗，而我们仅有1600颗花生，则这个方案将实现不了，那时必然会有猴子实际得到的花生比按这种方案规定它应该得到的花生少，于是它实际上相当于落入它前面的某一组。

当然，如果某一只猴子由于实际得到的花生数量少于按方案应分得的数量而实际上相当于落入了它前面的某一组，而它相当于落入的这组又有一只猴子实际上相当于落入更前面的组，那么与它分得同样多花生的猴子的总数（包括它本身）也许不大于3。但是，就这34组100只猴子的总体而言，所有那些因为实际花生数量比方案所要求的数量少而没有分得按方案规定所应分得的数量从而实际上落入了它前面某一组的猴子中，每一只猴子实际上落入的组都有一个编号（比如，按方按规定，这组猴子每只应分得几颗花生这组编号就是几），那么，这些猴子实际落入的编号最小的那组，该组本身那三只猴子都按方案规定得到了应得那么多的花生，现在又有后面某一组或某几组的猴子落入该组，因而该组至少将有四只猴子，即必有四只猴子分得一样多的花生。

于是我们看到，现在问题的关键是按把100只猴子分成34组的这种方案所需要的花生数量到底是多于还是不多于1600颗。

我们有

(0+1+2+3+…+32）×3+33=16171600。

因而，无论怎样分，也必然有四只猴子分得的花生一样多。

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