2016-10-28
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在某医院,四个婴儿的身份标签被搞乱了,两个婴儿的标签不错,其他两个婴儿的标签弄错了。发生这种错误的情况有多少种?
一种简单的计算方法是把所有可能的情况列成一张表,其结果表明两个婴儿与其标签不符的情况共有六种。
现在假设标签搞乱后,恰有三个是正确的,只有一个搞错了,问这个问题有多少种不同情况?
答案:
这个问题许多人都茫然不解,其原因是他们作了下列错误的假设:在四个婴儿中,三个婴儿与其标签相符的情况有许多种。但你如用"鸽笼原理"思索一下,情况就一清二楚了。假设有四个鸽笼,一一标有应放物品的名称。若三样物品都放在适当的鸽笼内,那么第四件物品只有一处可放,自然该处即为存放那件物品的地方。正确的可能只有一种,即所有四样物品都放置恰当这样一种情况,而不可能有更多的情况。
有一个关于三样东西都标签错误的古典问题。一旦领悟到可以把情况的数目缩小为1,这问题也就迎刃而解了。假设在桌上有三个盖着盖子的盒子,其中一个盒内有两枚5分镍币,一个盒内有两枚1角银币,还有一个盒内有一枚5分镍币和一枚1角银币。三个盒上分别标有10分、15分、20分。但每个标签都标错了。某人用手伸进那只误标有15分的盒子,取出一枚硬币放在此盒前方的桌面上。你看到这枚硬币后能否说出每个盒内的硬币?
同上面一样,人们一般总是首先考虑有多少种不同的可能性,但你如洞悉底蕴,一眼就可看出只可能有一种情况,从误标为15分的盒内取出的硬币不是一枚镍币就是一枚银币。若是一枚镍币,你即明白:那盒内原有两枚镍币;若是一枚银币,你即明白:那盒内原有两枚银币。无论哪一种情况,其他两个盒内装的是什么硬币也就随之一清二楚了。欲知什么原因,可画一张六种可能情况的表。可以看出,三个盒子全都误标的情况只可能有两种。从标有15分的盒内取出一枚硬币试看一下就可排除一种情况,仅剩下惟一正确的情况。
有时,上述问题也会以稍复杂的形式出现。在三个盒中,从任意一个盒内取出最少量的硬币进行试看,以此来确定三个盒内各装有什么硬币。惟一的办法当然是从标有15分的盒内取一枚硬币试看。也许你能提出一些更加复杂的问题,诸如每个盒内东西不止两件,或者盒子不止三件等等。
其他许多发人深思的难题都与上面婴儿问题有关,同样也涉及到初等概率论。例如,假设婴儿的标签以随机方式搞乱,那么四个标签全部正确的概率是多少?全部不正确的概率是多少?至少有一个正确的概率是多少?恰有一个正确的概率是多少?至少有两个正确的概率是多少?恰有两个正确的概率是多少?最多有两个正确的概率又是多少?诸如此类,不一而足。
"至少一个"的问题,就一般形式来说,居于古典趣味数学著作中的问题。这个问题通常如下所述:在一家旅店,有几个人在检查自己的帽子。寄帽部的粗心女郎没能使寄存牌和帽子做到一一对应,她随便地把寄存牌发了出去,问至少一人取回自己帽子的概率是多少?结果发现,当n增大时,其概率迅速趋近极限1-1/e,或比1/2稍好一点,其中e为著名的欧勒常数,等于2·71828…,在概率问题中经常反复出现。
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