2016-10-28
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(依据:《张丘建算经》;编诗:铁夫) 有女不善织,越织越钝迟;
每天减同数,多少未告知。
织布三十日,初五末一尺;
请问能算者,共织多少尺?
【解说】这是依据《张丘建算经》上的名题“有女不善织”编写而成的。题目的原文是:
“今有女子不善织,日减功,迟。初日织五尺,末日织一尺,今三十日织讫。问织几何?”
用通俗的话来说,题目的意思就是:
有一位女子不会织布,她每天织的都比上一天减少一些,而且减少的数量都相等。第一天她织了5尺,最后一天织了1尺,一共织了30天。她共织了多少布?
《张丘建算经》对这道题目给出了一个非常巧妙的解答方法:
“并初末日尺数,半之,余以乘织讫日数,即得。”“答曰:二匹一丈。”
用今天的算式来表达张丘建的这一算法,就是
因为古制1匹=4丈,1丈=10尺,所以,
90尺=9丈=2匹1丈
答:织布数量总共是2匹1丈。
为什么可以这样来解答呢?
如果把这位女子从第1天到第30天所织的布,都加起来,那么算式就是
5+…+……………………+…+1
在这一长串的加法算式中,每一个往后的加数,都要比它前一个挨着的加数,减少一个相同的数。显然这一递减的数不是一个整数。
如果把这个式子反过来,算式便是
1+…+……………………+…+5
此时,每一个往后的加数,就都会比它的前一个挨着它的加数,要递增一个相同的数。当然,这递增的数也不是整数。
现在,假若再把上面一顺一反的两个算式相加,并利用对应数相加和必然会相等这个特点,那么,就会出现下面的一个算式:
因为这女子共织了30天布,故上面相加的两个式子,都会有30个加数;于是,它们相加的结果,也必然是30个“6”的和。即
6×30=180(尺)
不过,这女子织的布不是180尺,而只有180尺的一半。这是因为她只织了一个30天,而这180尺是两个“30天”织布数量之和。所以她30天织的布就是
180÷2=90(尺)
将上面的式子综合起来,就是《算经》上的那种算式了:
…… ……
由此可见,这种解法的确是巧妙的和富有趣味的。采用这种解法来解答这类题目,具有其普遍意义。
【思考、练习】
1.有一堆粗细均匀的圆木,堆成了下图的形状,最上面一层有6根,每向下一层增加一根,共堆了25层。问:这堆圆木共有多少根?(答案:450根)
2.在上面的第1题中,如果最下面一层有98根,这堆圆木共有2706根,那么这堆圆木堆了多少层?(答案:33层)
3.小翔从元月一日开始写大字,第一天写了4个,以后每天比前一天多写相同数量的大字,结果全月共写了589个大字。问:小翔每天比前一天多写几个大字?(答案:1个。提示:可设每天比前一天多写a个大字,则有算式[4+(4+30a)]×31÷2=589。)
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