2016-10-28 收藏
(依据:美国名题;编诗:陈钢) 一条阶梯长又长,一步一阶路茫茫;
每步两级来跨越,剩下一级到顶房;
三阶一步剩二级,五阶五阶剩四级;
每步六阶又剩五,一步七阶适走光。
此梯最少多少级,请你仔细来思量。
【解说】这一道题目,据说是美国著名科学家爱因斯坦
研究过的一道名题。爱因斯坦是近代世界史上一位极其伟大的物理学家,他在世的时候,对“中国剩余问题”极感兴趣,他曾计算和研究过下面的这道题目:
一条长长的阶梯,如果你每步跨2阶,最后会剩下1阶;如果你每步跨3阶,最后会剩下2阶;如果你每步跨5阶,最后会剩下4阶;如果你每步跨6阶,最后会剩下5阶;只有你每步跨7阶时,最后才会刚好走完,一阶也不剩下。这个阶梯最少是多少级?
上面的这一道数诗题,就是根据这一道题目编写出来的。
由于题目太长,阅读起来不太简便,所以我们可以根据题目的实质,作如下简单、明白的叙述:
一条长阶梯,阶数被2除余1,被3除余2,被5除余4,被6除余5,但可被7整除。这阶梯最少是多少级?
解答时,可以这样来思考、分析与计算:
(1)依据“被2除余1”、“被3除余2”、“被5除余4”和“被6除余5”这四个条件,可知这阶梯的阶数比2、3、5、6的倍数都少1。即,这阶数只要加上1,便是2、3、5、6四个数的公倍数。因为2、3、5、6的最小公倍数是
2×3×1×1×5×1=30
可知,30-1=29,这“29”就是能满足上面四个条件的最小的一个自然数。
(2)29虽然能够满足前面四个条件,但却不能满足题中的第五个条件——“被7整除”。因此,它还不是题目的答案。能否在“29”这个数的基础上,找出能被7整除的自然数来呢?
回答是肯定的。只需要将29连续地加2、3、5、6四数的最小公倍数——30(道理可依据公倍数和公约数常识自己去寻找),再通过观察、比较,便可迅速地找出问题的答案来。如
29+30=59…………不能被7整除
59+30=89……………不能被7整除
89+30=119…………能够被7整除
由此可知,这条长阶梯的阶数,最少便是119级。
答:这阶梯最少是119级。
【思考、练习】
1.学校新同学入学后,老师安排他们分组开座谈会。每组5人则多1人,每组6人则多2人,每组7人则多3人。学校的新同学至少是多少人?(提示:实际上这是求被5除余1、被6除余2……的最小的自然数。答案是:206人)
2.商店运来一批白糖,每袋装5千克,还剩下3千克;每袋装6千克,还差2千克;每袋装7千克,还剩下1千克。这批白糖最少有多少千克?(提示:“每袋装6千克,还差2千克”,实际上就是“每袋装6千克,还剩下6-2=4千克”。答案:148千克)
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