2016-10-28 收藏
(依据:《张丘建算经》;编诗:铁夫) 方方正正一座城,廿里城墙好威风;
城外长阔各三尺,插支“鹿角”御敌人。
沿城四周挨墙插,每边五层把城封;
森严壁垒人工造,多少“鹿角”方可成?
【解说】这是依据《张丘建算经》上的“城外鹿角”名题编写而成的。题中“廿”音“念”,即二十。原题的意思是:
有一个正方形城,四围周长20里。要在沿城外边每个长宽各3尺的地面上,插防御敌军前进的“鹿角”1支,共插5层。问:需要插“鹿角多少支?”
题目中的“里”是旧制长度单位。“里”在《张丘建算经》成书的年代(公元一、二世纪),进率为1里=180丈=1800尺。所以,20里=36000尺。题中的“鹿角”,是古代军队的一种防御工具,它是把有许多树杈的大树枝削尖,插在交通要道上,成为阻挡敌人前进的工具,形状如鹿角,故称其为“鹿角”。
在《张丘建算经》上,给出了这道题目的答案。这答案用现代的算式表达,可以是
36000÷3×5+(5×3)×(5×3)÷(3×3)×4
=60000+225÷9×4
=60000+100
=60100(支)
答:需要插 60100支。
为什么可以这样来解答呢?现将其算理、算法,说明如下。
根据题意,我们可将城外“鹿角”的插法,画示意图如下(图中只画了方城之外一个转角处插法的一小部分情况,“▲”和“△”都表示“鹿角”):
由这一个转角处的插法,我们不难想象出其他三个转角处以及整个城外的“鹿角”的插法。由此可以看得出来,《算经》上的这种解法,是先求出正方形城(若是长方形城,也是这样)外面四周4个长方形内的“鹿角”总数(图中用“▲”表示的),再求四角4个正方形内“鹿角”的总数(图中用“△”表示的),然后将两数相加,即得这一结果。这与现今算术中先求“实心方阵”的总数,再减“中空方阵”总数的算法,有所不同。
在算式中冒出的“36000”即36000尺,也就是原题中的20里。但为什么可以列式为“36000÷3×5”呢?
本来,先算正方形城每边的尺数,应该列式为“36000÷4”;再算正方形城四面中每一面的长方形“长”边上所插“鹿角”的支数,应列式为“36000÷4÷3”。而每面长方形“宽”边上都是插的5支(5层),故又应列式为“36000÷4÷3×5”,才可求出每面的长方形内插了多少支“鹿角”。又因为这正方形城四面都要插,即有四个这样的长方形,故四个长方形内共插的“鹿角”支数就是
“36000÷4÷3×5×4”支
在这个算式中,有“÷4”和“×4”,古人解题时,便将它省作了“36000÷3×5”。这样一来,不仅使计算变得较为简便了,而且还使这一算法也适用于长方形城了。
现在,我们再来看方城外的四个角。
城外四角上都有用“鹿角”插成的一个正方形(图中用“△”表示的),每个正方形的边长都是( 3×5)尺,面积便是( 3×5)×( 3 × 5)平方尺。每支“鹿角”占地 3×3平方尺,所以,每个正方形内就能插“鹿角”
(5×3)×(5×3)÷(3×3)支
四个角上四个正方形内就能插“鹿角”
(5×3)×(5×3)÷(3×3)×4支
最后,将四个长方形内的“鹿角”总数,加上四个角上四个正方形内的“鹿角”总数,当然就是城外所有的“鹿角”数目了。
假如用现在的办法,假定其城内城外都插满了“鹿角”,先求出假定的“鹿角”支数,再减去中间并未插上的支数,即用“假定为实心方阵的支数”减去“空心部分的支数”的解法去解,显然也是容易解答出来的。
【思考、练习】
1.你能否换一种解法解出这道题目?试试看。
2.有一个站了3层人的“中空方阵”,最外层每边站10人。问:全阵共站了多少人?(提示:观察下面的示意图可找到解法。图中“▲”表示站着的人,“△”表示空位。答案:84人)
3.有外层每边12粒棋子的“中空方阵”,最里面一层每边有棋子8粒。问:这棋子的总数是多少粒?(答案:108粒)
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