（依据：意大利名题；编诗：陈钢） 一对大兔子，每月产两仔；

两仔满两月，每月也两仔。

年终计总数，多少只兔子？

【解说】这是依据意大利著名数学家斐波那契（F．I-bonacci，也译作“菲波纳奇”。他还有个名字，叫做“梁拿度”——Leonardo of pisa）的名题“兔子问题”编写而成的。原题记载在他编著的《算盘之书》（《Liberabacci》）上，翻译过来可以是：

兔子在出生两个月后，就有繁殖后代的能力。假设有一对兔子，每月都生一对兔子，生出来的每一对兔子在出生两个月以后，也每月都生一对兔子。那么由一对兔子开始，满一年的时候，可以繁殖成多少对兔子？

斐波那契是个商人的儿子，出生在意大利的比萨市。幼年时，曾随父亲到过阿尔及利亚，在那里学习了不少阿拉伯人民的算术和代数知识。成年以后，他也经商，走遍了埃及、叙利亚、希腊、西西里和法兰西。后来他回到国内，将他边经商边收集到的算术和代数材料，认真地作了研究，于1202年写成了这本《算盘之书》。

下面，我们来寻找一下题目中兔子的繁殖规律。为了能从下面的图形中反映这一规律，我们将已经成熟的兔子，用记号“▲”表示，未成熟的用“△”表示。每一对成熟的兔子“▲”，经过一个月就会变成本身一对“▲”及新生的未成熟的一对“△”。未成熟的一对“△”，经过一个月，就变成了成熟的但本月还不能生小兔的一对“▲”，……这一规律，可用下面的示意图来表示：

容易看出，这对兔子在第一个月生了一对小兔子，于是这一个月便有两对兔子了。

第二个月：第一对兔子又生了一对小兔子，而前月生下的那一对还不能生小兔子，因此，第二个月的兔子总数为3对。

第三个月：第一月出生的兔子经过两个月，已经能生小兔子了，故这一个月有两对兔子各生一对小兔子，本月就总共有5对兔子了。

第四个月：第二月出生的兔子也能生小兔子了，故此月共有3对兔子各生一对小兔子，连同原有的5对，总共就有8对兔子了。

不难看出，对于任何一个月来说，往已经过去了的前面隔开一个月，则所有的兔子都能生小兔子了。根据题目的条件，每一对兔子每月总是生一对小兔子，因此，这个月出生的小兔子对数，就等于往前隔开一个月所有兔子的对数。那么，当月所有兔子的对数，就等于往前隔开一个月的兔子对数，加上上个月兔子的对数。

用这一规律推算，这一年的12个月里每一个月所有兔子的对数，我们可以列表表示如下。（表中单位为“只”）

显然，这第十二个月所有的377对兔子，便是满一年的时候可以繁殖的兔子对数。

答：满一年有兔子377对，即有754只兔子。

其实，只要我们仔细观察，就容易发现上面表中有下面的规律（设开始为“0月”）：

第二个月对数=第一个月对数+开始的对数

=2+1

=3（对）

第三个月对数=第二个月对数+第一个月对数

=3+2

=5（对）

第四个月对数=第三个月对数+第二个月对数

=5+3

=8（对）

若用F（n）来表示第n个月的兔子对数，则有

F（n）=F（n-1）+F（n-2）（n=2，3，4，…）

这便是这一问题的计算公式。

值得指出的是，把原有兔子的对数“ 1”重复地写一次，再将第一、二、三、四、五……个月的2、3、5、8、13……对兔子数，依次排列起来，就会得到这样的一串数：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，…

这是一串很有规律的数，人们将它称为“斐波那契数列”。斐波那契数列具有很多重要的性质，并具有广泛的应用价值。

【思考、练习】

有一个著名的“树木分枝问题”，实际上也是一个“斐波那契数列问题”。题目如下：

“如果一棵树每年都在生长，第二年有2个分枝，第三年有3个分枝，第四年有5个分枝，第五年有8个分枝，……，照此下去，第十年有多少个分枝？第十五年有多少个分枝？”

请你将这道题目解答出来。

（提示：题目中的这些分枝数目，都是些斐波那契数。利用斐波那契数列的规律，可很快求出其中的未知数。答案：第十年89个分枝，第十五年987个分枝。）