近日，拜读了田家顺老师《〈口算除法〉中数学模型的思考》一文，受益匪浅。田老师在文中说：一堂数学课，如果通过教学学生依然无法很好的运用数学语言对事物或现象进行描述，抑或通过教学，学生思维不清晰，不能很好的阐述自己所运用的数学模型，这堂数学课应该不能算是成功的数学课。这一点我深有同感。如果一节课下来，学生连这节课自己学习了什么都不清楚，那么这节课确实不能算得上一节好课。

在阐述自己的观点时，田老师举了人教版小学四年级《口算除法》的例子。田老师认为：在这堂课中只能把“做除法想乘法”做为本课的数学模型。对于田老师对本节课两种解题方案的分析，我完全同意。只是对于这堂课中只能把“做除法想乘法”作为本节课的数学模型，我不敢苟同。下面，笔者就从自己对教材理解的角度谈一下我对本节课的数学模型的看法，与田老师商榷。

一、本节课的数学模型应该是除数是整十数的口算除法的计算方法。

《口算除法》是四年级上册第五单元第1课时的教学内容。在学习本节课知识之前，学生在二年级下学期学过了根据表内乘法来计算表内除法。在三年级的上学期学过了整十数乘一位数的口算乘法。在本单元中，除数是整十数的口算除法是除数是整十数的估算除法的学习基础，除数是整十数的估算除法，又是除数是两位数笔算除法的学习基础。除数是整十数的口算除法，又是探究商不变规律的学习基础。

从以上分析可以看出，除数是两位数的口算除法的计算方法，不仅是对表内除法与整十数乘一位数乘法学习的进一步深化，更是本单元后继知识的学习基础。在整数除法教学中具有承上启下的衔接作用。

一堂数学课，一般只解决一个问题或一类问题，从而构建出数学模型，或者对已经构建的数学模型进行运用。张奠宙教授认为，“广义地讲，数学中各种基本概念和基本算法，都可以叫做数学模型。”因此，根据本节课的知识特点及本节课知识在整数除法知识体系中的作用，把本节课的数学模型确定为除数是整十数的口算除法的计算方法，比确定为做除法想除法，更合适一些。。

二、本节课的数学模型中两种解题思路的关系

在本节课中，教材一共列出两种解题思路：

例：有80个气球，每个班20个，可以分几个班?

(解题思路1)： (解题思路2)：

20×4=80 8÷2=4

80÷20=4 80÷20……

在这道例题中，第一种解题思路：以整十数乘一位数的口算为基础，用根据做除法想乘法的方法得出了正确的答案。思维的步骤多了一些，但是思维的坡度较小，易于被学生理解。第二种解题思路：根据表内除法先算出8÷2=4，然后把被除数与除数同时乘以10，得出了80÷20=4。计算过程比较简洁，但思维的坡度比第一种解题思路大了一些，抽象性更强一些。

在二年级学习表内除法时，学习已经了解了乘法算式与除法算式的改写练习。在三年级学习除法时，学生也学习了用乘法来验算除法。因此，第一种解题思路，充分考虑了学生的认知基础和已有的学习经验，更容易为学生所理解。

教材中所列的第二种解题思路，是运用了商不变的性质进行解决。尽管学生之前并没有学过商不变性质，但是根据8÷2=4，学生仍然可以通过猜测得出80÷20=4。通过设置猜测的学习情境，既培养了学生的合理推理能力，发展了学生的思维，又为学生以后学习商不变性质进行了直观的渗透。

由此可见，本节课例题的这两种解题思路，对于学生掌握除数是整十数的两位数口算技能，发展学生的思维能力，各有其侧重点，这两种解题思路是有机统一、互相补充，不可相互替代的。

三、关于第二种解题思路与商不变性质的关系。

田老师认为，“商不变的性质”在本堂课中即不是模型的构建，又不是模型的运用，给师生造成许多困扰，所以在这堂课中只能把“做除法想乘法”做为本课的数学模型，仅以第一个方案作为教学点。

对于这一观点，我认为不妥。教材例题的第二种解题思路，虽然是运用了除法的商不变性质，但目的是通过这一性质来帮助学生掌握除数是整十数的两位数口算除法的计算方法，通过运算方法的学习，掌握口算除法的技巧。同时，为后续的估算除法、笔算除法，以及商不变性质的探究打下一个良好的学习基础。而不是为了学习“商不变性质”才设置这个解题方法。所以，我认为如果仅仅根据“商不变性质”在本堂课中即不是模型的构建，又不是模型的运用为理由来取消第二种解题思路的教学，是不合适的。

《数学课程标准》(2011年版)指出：数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如，分数、函数、概率、数形结合、逻辑推理、模型思想等。因此，教材在呈现相应的数学内容与思想方法时，应根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则。在小学阶段，商不变性质也需要较长的时间才能被学生所掌握。因此，在构建商不变性质的数学模型之前，先让学生通过运用商不变性质来解决运算问题，即培养了学生的运算技能，又为学生的进一步学习打下良好的认知基础。所以，把第二种解题思路作为口算除法数学模型的一部分，是比较恰当的。

四、结语

模型思想是新课程标准提出的一个新概念，但这并不意味着数学知识建模或者数学模型的应用都必须在一节课之内完成。模型的建构与数学知识的渗透、归纳与应用不应该是互相冲突的。只有这样，教师在研究教材时才可以更准确地把握教材，少一些为难，多一些自信。