背景介绍

李老师任教于一所民办中学的初一年级。该民办中学因为实行电脑派位的招生方式，学生来源于全市40余所小学，数学水平在全市属于中等水平。学生入学后实行小班化教学，李老师所教的初一(8)班共有41名学生，男生22人，女生19人。李老师在平时教学中注意渗透新课程理念，注重改进自己的教学方式，运用新方法，在课堂教学中注意营造“自主探索，合作交流”的学习氛围，学生与他的关系融洽，课堂气氛活跃，经过初中一个学期学习后，班级已经初步形成了合作交流、敢于发现、积极探索的学风。

情境描述

为了上好立方根这节课，李老师创设了这样一个问题情境：

(出示电热水器图片)同学们在家里或者商场里都见过电热水器，像一般家庭常用的是容积50L的。学生分组讨论：如果要生产这种容积为50L的圆柱形热水器，使它的高等于底面直径的2倍，这种容器的底面直径应取多少?师生共同探讨后给出解决方法：设容积的底面直径为xdm，则π??2x=50，可得，x3=≈31.84。

问题是什么数的立方会等于31.84呢?学生百思不得其解，李老师在此处设置了一个台阶，再设问：要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少?学生容易给出解决问题的过程：设这种包装箱的边长为xm，则x3=27，这就是求一个数，使它的立方等于27。因为33=27，所以x=3，即这种包装箱的边长应为3m。

因为刚刚学过平方根的概念，所以李老师在教学设计时就准备请学生模仿前面一节的平方根的概念试着给取个名字。“那么，我们来给它取个名字吧。”李老师的话音刚落，学生A就迫不及待地举手了：“把它叫算术立方根吧，”这下有点让李老师出乎意外了，怎么会来一个算术立方根呢?“为什么呢?”李老师问。学生A不慌不忙地解释：“我们不是学过，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。类似地，如果一个正数x的立方等于a，那么这个正数x叫做a的算术立方根。”这一听，还真有点道理，不少同学点起了头。正当李老师动脑筋如何引导学生给出确切的定义时，爱动脑筋的学生B发言了：“老师，那么如果一个负数x的立方等于a，那么这个负数x叫做a的什么呢?”学生B这么一说，刚刚还点头表示同意的同学又议论开了，是啊，那可怎么解决呢?“还有零呢?”有同学在下面嘀咕了一句。稍顷，学生C发言了：“我认为应该是这样的，我们模仿平方根的定义，不管这个数是正数、负数还是零，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。”李老师舒了一口气，还算好，总算有同学给出了正确说法，“其他同学有什么补充吗?”李老师问。最后，大家一起归纳出了立方根的概念。

随后师生一起顺利地学习了利用立方与开立方的互逆关系求立方根。

李老师让学生尝试用符号给出数a的立方根的表示方法。学生C抢着说：“±”。这样一个结论出来，是李老师在课前设计中所没有预料到的。他开始想，要么索性直接给出表示方法算了，省得学生兜圈子。但转而一想，还是让学生自己体验得到结论吧。于是，李老师让学生独立完成课本第169页的探究题。对于23=8，进一步追问学生，除了2以外是否有其他的数，它的立方也等于8呢?对于下面几个问题请学生在小组间类似设问。经过讨论，大家一致认为一个正数有一个立方根;一个负数有一个立方根;零的立方根是零。此时，李老师因势利导，“刚刚得到的立方根表示方法确切吗?”，学生经过认真思考，一起归纳出了立方根的表示方法：。

到此，李老师让学生一起给出了平方根与立方根的异同。

分析与讨论

立方根(1)的内容，是在学习了算术平方根、平方根的有关概念的基础上提出来的。本节从内容上看与上一节平方根的内容基本平行，主要研究立方根的概念和求法;从知识的展开顺序上看也基本相同，本节也是先从具体的计算出发归纳给出立方根的概念，然后讨论立方与开立方的互逆关系，研究立方根的特征，最后介绍使用计算器求立方根的方法。

在导入新课时，创设了一个学生生活实际中常见的问题情境，“什么数的立方会等于31.84?”这个问题时，又设置了一个学生容易解决问题，将学生的注意力朝着开立方运算转化为立方运算的思路引导，为进一步探究新知做好准备。

假如教师直接传授，则立方根的概念、立方根的表示方法，学生马上可以学会。但根据新课程标准中要求“数学学习活动应该是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”考虑到“平方根”与“立方根”在内容安排上也有很多类似的地方，因此教师在教学中利用类比方法，让学生自己通过类比旧知识学习新知识。教师在教学中不是一味地传授，而是注重教学中如何让学生更加透彻地理解问题，突出立方根与平方根的对比，分析它们之间的联系与区别，这样新旧知识联系起来，既有利于复习巩固平方根，又有利于立方根的理解和掌握。通过独立思考，小组讨论，合作交流，学生在“自主探索，合作交流”中充分发挥了他们的主观能动性，学生获取知识的方式由“被动地接受”变为“主动地探索”，在教学中，教师通过学生给立方根下定义，尝试给出立方根的表示方法等贴近学生的活动，让学生在思维碰撞中积极主动地学习，并从中体验到了数学学习的过程充满了探索和创造的乐趣。

《数学课程标准》指出：“学生是数学学习的主人。”“数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。”“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”该教学案例中充分体现了新课标理念，从学生身边熟悉的物体着手，注重所学知识与生活实际的联系，使学生体会到数学来源于生活，让数学贴近生活。

点评

①著名的学习理论家奥苏贝尔指出：要进行有意义的学习必须知道学生已经知道了什么?而在本案例中，平方根的概念、表示方法等都是学生原有的知识。为了建立立方根的概念，

教师充分“借用”平方根的有关概念和产生过程，进行类比。这样的设计在本课中是成功的。

②本节课的教学过程符合学生的认知规律。首先，教师从学生身边熟悉的物体着手，选取了一个实际问题，使学生体会到数学来源于生活。组织教学时，教师是学习的组织者和引导者的角色。在教师的引导下，学生的思维过程得到了充分地暴露，当学生出现错误时，教师并不急于改正，而是通过让学生交流，让学生说服学生，在主动参与、探索交流中不知不觉地学到新的知识，建构了知识体系。这些都体现了新课程的教育教学理念。

③探究的过程似乎有些不足。问题“什么数的立方会等于31.84?”，对学生来说是一个挑战，也是一个学生只有“跳一跳”才能解决的问题，相信有些学生也会有些想法，老师马上在此处铺设了一个台阶，设置了一个学生容易解决的问题，将学生的注意力朝着开立方运算转化为立方运算的思路引导。似乎做得有点过急，学生的探究空间也大大地缩小了。如果将问题改为“这个数大约是多少?”，要求出这个数“相当于解决一个怎样的问题?”“我们已经有过类似的问题和解决方法吗?”等语言，那学生的探究意识和参与性将进一步得到激发。