2015-05-12
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二次根式是初中数学中的基础知识,也是初中数学学习中的重点内容;而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点,也是中考和数学竞赛中常见的题型,经常会考到不查表、不求二次根式的值,来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法,如求近似值法、比较被开方数法等,尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法,但许多学生在考试中仍显得力不从心,并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适?解答这类题目时缺少方法与对策,以至于无从下手。下面就举例介绍几种比较二次根式大小的有效方法。
一、移动因式法
此法好学,适用。就是将根号外的正因式移入根号内,从而转化为比较被开方数的大小。
例1:比较的大小。
解:>
∴>
二、运用平方法
两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是:两个正数的平方是正数,平方大的数就大;两个负数的平方也是正数,平方大的数反而小。
例2:比较与
的大小。
解:∵,
>0,
>0
∴<
三、分母有理化法
此法是先将各自的分母有理化,再进行比较。
例3:比较与
的大小。
解:
∴>
四、分子有理化法
此法是先将各自的分子有理化,再比较大小。
例4:比较与
的大小
解:∵
>
∴>
五、求差或求商法
求差法的基本思路是:设为任意两个实数,先求出
与
的差,再根据“当
<0时,
<
;当
时,
;当
>0时,
>
”来比较
与
的大小。
求商法的基本思路是:设为任意两个实数,先求出
与
的商,再根据“①
同号:当
>1时,
>
;
=1时,
;
<1时,
<
。
②异号:正数大于负数” 来比较
与
的大小。
例5:比较的大小。
解:∵<
∴<
例6:比较的大小。
解:∵>1
∴>
六、求倒数法
先求两数的倒数,而后再进行比较。
例7:比较的大小。
解:∵
>
∴<
七、运用媒介法
此法是借助中间量(定量或变量)巧妙转换达到直观比较的方法,类似于解方程中的换元法。
例8:已知,
,试比较
的大小。
解:设,则
,
∵<
,
∴<
,即
<
八、设特定值法
如果要比较的二次根式中含有字母,为了快速比较,解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。
例9:比较与
的大小。
解:设,则:
=1,
=
∵<1,∴
>
九、局部缩放法
如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点,又不准求近似值,可采取局部缩放法,以确定它们的取值范围,从而达到比较大小的目的。
例10:比较的大小。
解:设,
∵,7<
<8,即7<
<8
,8<
<9,即8<
<9
∴<
,即
<
例11:比较与
的大小。
解:∵>
∴>
十、“结论”推理法
通过二次根式的不断学习,不难得出这样的结论:“>
(>
>0)”,利用此结论也可以比较一些二次根式的大小(结论证明见文末)。
例12:比较1与的大小。
解:∵,由
>
(>
>0)可知:
>
即>
又∵>
∴>
,即1>
总的来说,比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种,除此之外诸如移项、拆项法,类比推理法,数形结合法,数轴法,还有假设推理法等等,但不管使用哪种方法,都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行,要根据问题的特征,二次根式的结构特点,多角度地探索思考,做到具体问题具体分析,针对不同问题采取不同的策略,另外还应多做这方面的训练,方能达到熟练而又快捷,运用自如的程度。
附:“>
(
>
>0)”的证明。
证明:∵,
,
>
∴>
(
>
>0)
【典题新练】:
1、比较与
的大小;
2、比较与
的大小;
3、比较与
的大小;
4、比较与
的大小;
5、比较与
的大小;
6、比较与
的大小(其中
为正整数)
7、设,
,试比较它们的大小;
8、比较与
的大小;
9、比较与
的大小;
10、 比较与
的大小;
11、比较与
的大小;
12、比较的大小;
13、比较与
的大小;
14、 比较与
的大小;
15、若为正整数,试比较
的大小;
16、比较的大小;
17、比较与
的大小。
【典题新练参考答案】:
1、提示:,
,
∴<
2、提示:平方后再进行比较。
,
,
∴>
3、提示:可利用>
(
>
>0)。
>
,即
>
4、提示:分母有理化后再进行比较。
,
,
<
,
∴<
5、提示:分子有理化后再进行比较。
∵>
,
∴<
,
即<
6、提示:∵,
其中为正整数, ∴
>
故<
7、提示:设,则:
,
∵ <
∴<
,
∴<
8、平方后再进行比较。
,
,
又∵>
,
∴>
∴<
,
∴<
9、提示:∵2<<3,7<
<8,
∴<5<
∴<
10、提示:分子有理化后再进行比较。
因为,
,
而>
所以<
,故
<
11、提示:分别求其倒数后,再进行比较。
∵,
>
,∴<
12、提示:∵,而7<
<8,∴
的整数部分为7 。同样可得
的整数部分为8,∴
<
13、提示:∵>
∴>
14、提示:平方后再比较大小。
∵,
,
∴<
15、提示:由偶次根式的定义得,∴
<2009,∴
<0,
∴>0,
<0,∴
>
16、提示:由,设
>
,则
>4,两边平方得:
>16,∴
>4,这与
<
=4相矛盾,
∴假设不成立,故<
。
17、提示:可在方格纸或坐标纸上作折线图。,示例如下图:
,
,
;
。由图可知:
>
,即
>
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