2015-05-12 收藏
下面一道和直角三角形折叠有关的几何证明题,需要作辅助线构造相似三角形,才能顺利解决。但辅助线的作法比较灵活,通过探究此例辅助线的作法,能够训练思维的灵活性、深刻性,从而提高数学能力。下面从构造相似三角形的角度出发,探究四种辅助线的作法。
例 如图1,Rt△ABC中,AB=AC,点M在AC上,点N在BC上,沿MN翻折使点C恰好落在斜边AB上的点P.
(1) 当P为AB中点时,求证:
.
(2) 当P不是AB中点时,
是否仍然成立?若成立,请给出证明。
析解:(1)如图1, P为AB的中点,则PA=PB,要证
,所以应证CM=CN.
连结CP,由PA=PB,CA=CB,得CP⊥AB.
可知△CMN与△PMN完全重合, 得CM=PM,CN=PN.
∴MN⊥CP.(MN是PC的垂直平分线)
∴MN∥AB.
∴==1.
∵,∴.
(2) 如图2, 此时仍然成立.
如何证明关键是怎么作辅助线,将成比例线段的四条线段集中在一块,利用全等三角形和相似三角形的知识来研究。
辅助线一
由,考虑从线段AB 的内分点P作AC的平行线,构造出相似三角形,再从已知分析寻找证明思路。
证:如图(2),作PQ//AC,则PQ⊥BC,连结PC.
∵PQ∥AC,∴.
而PQ=QB,∴.
(如果以作为中间比,须证。于是从思考△PQC∽△NCM是否成立。)
由已知可得PC⊥MN,MC⊥CN,
∴∠CMN=∠PCQ,∴Rt△PCQ∽Rt△NMC.
∴.∴.
辅助线二
仍然考虑从P出发构造相似三角形和全等三角形。
证:如图3. 作PH⊥AB于P交AC于H,作AQ∥BC,于PN的延长线交于Q,可得
△PAQ∽△PBN,有.
∵PH⊥AB于P,∠PAH=45°,∴PA=PH,∠PHM=∠PAQ=45°,
∵△CMN≌△PMN,∠MPN=Rt∠.∠1+∠3=∠2+∠3=Rt∠
∴∠1=∠2, ∴△PHM≌△PAQ(ASA) ,∴PQ=PM.
∴.
辅助线三
由
可知,PA、PM在△PAM,而PB、PN在△PBN中,显然不易证这两三角形相似,于是想办法作辅助线构造一个与△PAM相似的三角形。
证:作PQ=PN交BC于Q,如图4. ∠PNQ=∠PQN,∠PNC与∠PMC互补,∠PMA与∠PMC互补,∠PMA=∠PQB,又∠A=∠B=45°,
∴△PMA∽△PQB, ∴.
又PQ=PN∴成立。
而PM=PN,PN=CN,∴.
辅助线四
根据以上三种辅助线的作法,不难想到第四种作法。
证:如图5,作PH⊥AC于H,PG⊥BC于G ,
易证Rt△AHP∽Rt△BGP, 则,再证Rt△AHP∽Rt△PGN,∴问题可以得到解决。
应用一元二次方程(第2课时)倍速课时学练课件ppt
菱形的性质和判定(1)倍速课时学练课件ppt
应用一元二次方程(第1课时)倍速课时学练课件ppt
用配方法求解一元二次方程(第2课时)定倍速课时学练课件
矩形的性质和判定(2)倍速课时学练课件ppt
5.2反比例函数的图象与性质课件ppt
最新2013版第3单元证明(三)复习课件ppt北师大版九年级上
【2014秋开学】4.2视图(1)课件ppt
2013版第6单元频率与概率复习课件ppt北师大版九年级上
三角形的中位线课件(几何画板)
5.3反比例函数的应用课件ppt
《平行线分线段成比例》倍速课时学练课件ppt
3.1用树状图或表格求概率课件ppt
《正方形的性质和判定倍》速课时学练课件ppt
矩形的性质和判定(1)倍速课时学练课件ppt
图形的位似(2)倍速课时学练课件ppt
用配方法求解一元二次方程(第1课时)定倍速课时学练课件
《相似三角形判定定理的证明》倍速课时学练课件ppt
认识一元二次方程(第2课时)定倍速课时学练课件ppt
4.2视图(2)课件ppt
用配方法求解一元二次方程(第3课时)定倍速课时学练课件
探索三角形相似的条件(2)倍速课时学练课件ppt
探索三角形相似的条件(3)倍速课时学练课件ppt
2013版第4单元视图与投影讲练课件ppt北师大版九年级上
图形的位似(1)倍速课时学练课件ppt
第四章视图与投影小结课件ppt
菱形的性质和判定(2)倍速课时学练课件ppt
第一章特殊平行四边形(复习课)定倍速课时学练课件ppt
3.6利用相似三角形测高(1)倍速课时学练课件ppt
《用分解因式法求解一元二次方程》倍速课时学练课件ppt
小学 |
初中 |
高中 |
不限 |
一年级 | 二年级 |
三年级 | 四年级 |
五年级 | 六年级 |
初一 | 初二 |
初三 | 高一 |
高二 | 高三 |
小考 | 中考 |
高考 |
不限 |
数学教案 |
数学课件 |
数学试题 |
不限 |
人教版 | 苏教版 |
北师版 | 冀教版 |
西师版 | 浙教版 |
青岛版 | 北京版 |
华师大版 | 湘教版 |
鲁教版 | 苏科版 |
沪教版 | 新课标A版 |
新课标B版 | 上海教育版 |
部编版 |
不限 |
上册 |
下册 |
不限 |