柯召，数学家，数学教育家。长期在四川大学任教，曾任该校校长多年。研究领域涉及数论、组合数学与代数学。在二次型、不定方程领域获众多优秀成果。

柯召，字惠棠。1910年出生在浙江温岭一个平民家里。父亲柯伯存在当地一家小布铺中当店员，母亲是家庭妇女，家境窘迫，勉强度日。柯召5岁时，父亲即教他认字，训教甚严。1921年，柯召11岁，本已可升中学，因年幼，父亲便让他在家乡读了一年私塾，从此打下了良好的古汉文基础。1922年，入杭州安定中学读书，1926年毕业。同年考入厦门大学预科，1928年升入厦门大学数学系。学满两年后，他希望转学到师资力量更强的清华大学。为筹学费，他去教了一年中学。1931年，通过考试转学到清华大学算学系。当时，在系里任教的有熊庆来、孙光远、杨武之、胡坤陞等，和柯召一起听课的有陈省身、华罗庚、许宝騄、吴大任等。华罗庚是系里的职员，陈省身和吴大任是研究生，柯召和许宝騄是本科生。后来，这五人都成了著名的数学家。1933年，柯召以优异成绩毕业。当时的清华大学淘汰率极高，他们那一届毕业时仅剩他和许宝騄二人，都是在三年级转学来的。杨武之是美国芝加哥大学博士，中国早期从事现代数论研究的学者，柯召和华罗庚都受他指导，师生情谊很深。课余时间，柯召常去老师家中下围棋。杨武之的儿子杨振宁当时还年幼，常站在一旁观棋。

1933年，柯召应姜立夫的聘请，去天津南开大学数学系当助教。当时南开大学数学系只有他一个助教，任务很重，他工作孜孜不倦，做得十分出色。

1935年，他考上了中英庚款的公费留学生，去英国曼彻斯特大学深造，在导师L.J.莫德尔(Mordell)的指导下研究二次型，在表二次型为线性型平方和的问题上，取得优异成绩，并应邀在伦敦数学会作报告，受到当代著名数学家G.H.哈代(Hardy)的好评。这是中国人首次登上伦敦数学会的讲台。1937年，由哈代和莫德尔主考，柯召获得博士学位。接着，他在曼彻斯特大学数学系工作一年，指导一位英国学生取得硕士学位。在英国3年，柯召学习刻苦、工作勤奋，为他毕生从事数学的教学和研究打下了坚实的基础。到1938年为止，才华横溢的柯召，在《数论学报》、《牛津数学季刊》、《伦敦数学会杂志》、《伦敦数学会会报》等国际一流杂志上发表了10多篇极为出色的论文，除了包括二次型方面的一系列深刻工作外，还包括了中国最早的代数数论和数的几何方面的研究成果。

当时，在曼彻斯特大学聚集了一批数论新秀，他们当中除柯召外，还有P.爱尔特希(Erdos)、H.达文波特(Davenport)、K.马勒(Mahler)等人，后来他们都成了国际上的著名数学家。柯召与爱尔特希在曼彻斯特大学期间合写了3篇重要论文，结下了深厚的友谊，持续至今。52年后，爱尔特希在《四川大学学报》为庆祝柯召80寿辰出版的专辑上发表文章，满怀深情地回忆和柯召在英国同窗的美好日子。

1938年夏，柯召不顾老师莫德尔的再三挽留，满怀报国之心，毅然回到正受日本侵略军蹂躏的祖国。他和留英的李华宗都来到了成都，受聘为四川大学教授，讲授代数和几何方面的课程。翌年夏，他任四川大学数学系主任。这时，为躲避日本侵略军的空袭，四川大学由成都迁往峨嵋。尽管抗战大后方条件极为艰苦，他仍坚持教书育人，积极从事科学研究;在此期间他与李华宗合作，进行了矩阵代数方面的研究。特别是他主持数学系之后，很注意科研工作和学生能力的培养，除课堂教学外，定期举办全系的学术讨论会。在四川大学校史上有这样一段记载：“1938—1942年在峨嵋期间，数学系每周设专题研究课，召集全系师生作集体研究，各人阐述自己的研究心得，共同讨论，这种专题研究十分吸引人……它造就了一批在数学上锐进不已的人材。”他和李华宗合作的论文，以及和他的学生朱福祖合作的二次型方面的论文，都是这个专题研究课的产物。

1946年，柯召应聘到重庆大学数学系任教授。那时物价暴涨，货币贬值，教员生活非常清苦，柯召仍孜孜不倦从事教学工作，精心讲授“群论”、“数论”等课程，深受学生的欢迎，培养出陈重穆等优秀的学生。

中华人民共和国建立后，柯召继续在重庆大学任教。1953年，他调回四川大学任教至今。在这40余年间，他以满腔的热情投入教学和科研工作，为国家培养了许多优秀数学人材，在科研上硕果累累。与此同时，他还先后担任了四川大学教务长、副校长、校长、数学研究所所长等职，作为学术带头人和学校负责人，他卓有成效地抓了几个重要方面的工作：努力提高教学质量，积极开展基础理论研究，发展应用数学，培养一批高水平的人材，等等。

柯召一贯重视提高教学质量，反对“注入式”的教学方法，主张搞教学的人要积极开展科学研究，使讲课深入浅出，富有启发性。他自己以身作则，对待教学工作认真负责，从上基础课“高等代数”到讲授选修课“数论导引”，均一丝不苟，讲解生动，极富启发性，深受学生的欢迎。他还重视教材建设，中华人民共和国成立初期，翻译出版了A.Γ.库洛什(Kypoш)的《高等代数教程》、A.и.马尔采夫(Mалъцев)的《线性代数学》以及ф.P.甘特马赫尔(гантмахер)的《矩阵论》等，前二种教材被当时各大专院校数学系普遍采用，为数学教育的发展作出了贡献。1981年，他与魏万迪合作编写出版了《组合论》(上册);1986—1987年，他和孙琦合作出版了《数论讲义》，这些教材的出版，受到广大读者和国内外同行的好评。

柯召非常重视基础理论研究。1955年，他带领一些青年教师和学生，在线性型的最大不可表数的问题上，作了不少工作。同时，他在二次型方面继续发表了一些优秀论文。特别在60年代，他在不定方程方面，得到一系列极为出色的结果。在组合数学方面，与爱尔特希、T.拉多(Radó)合作，发表了著名的爱尔特希-柯-拉多定理。他主张科研工作要持之以恒，不能停顿，他说，“研究工作不怕慢，只怕站”。他长期参加并指导有多名中青年教师参加的数论讨论班，鼓励大家敢于向难度大的问题挑战。他用袁枚的一首诗来表达他对科学研究的深切体会：“但肯寻诗便有诗，灵犀一点是吾师，夕阳芳草寻常物，解用都为绝妙词。”他说：“对科学研究确有此种境界，肯下功夫，总会有收获，灵感之来源于刻苦，能灵活运用，可以得出很好的结果。”

柯召很重视数学的应用工作。早在50年代初期，他就在四川大学数学系提出要发展微分方程、概率统计和计算数学这三个有重要应用价值的数学分支。60年代初，他曾亲自参加线性规划的推广和应用工作。1972—1973年，他不辞辛苦地同一些中青年教师一道，到四川的沪州、广元、峨嵋、成都等地去推广优选法，举办讲座。1974-1975年，他亲自编写了国内第一部组合论讲义，作为部队学员培训班的教材。他支持他的学生魏万迪从事组合数学的研究，支持孙琦、郑德勋等开展快速数论变换的研究，使得四川大学在这两个方面都取得了不少好成绩。80年代初，他又积极带领四川大学数论组的教师从事国防应用数学的研究，开拓数论应用的新领域，为社会主义现代化服务，取得了丰硕的成果。

柯召认为：“大学的设备，不如师资重要，西南联合大学就是证明。它的设备不行，还是培养出了杨振宁、李政道等多位杰出学者，其原因是西南联合大学的师资力量很强。”因此，他热心于培养学生，提携优秀人材，反对论资排队。50年代以来，他培养过的许多学生，例如陈重穆、陆文端、张同、郑德勋、魏万迪、谢盛刚、孙琦、李德琅等，如今都已成长为我国数学教学和研究队伍中的骨干力量。

柯召是最早的中国科学院数理学部委员之一，长期担任中国数学会的领导工作，直至1983年第4届全国数学大会改任为名誉理事长。他于1963年和1978年，两度参加了制定国家发展规划的工作，为中国数学事业的发展做了大量的重要工作。他还担任过国务院学位委员会第一届学科评议组成员，国家教委教材编审组“代数、数论”组成员，《数学学报》编委，《数学年刊》副主编等多种职务。

柯召还是一位社会活动家。1950年，他参加了九三学社，历任九三学社中央常委、副主席、参议委员会副主任，九三学社四川省主委，四川省政治协商会议副主席，四川省科学技术协会副主席、名誉主席等职。柯召是第1至第7届的全国人民代表大会代表。

从30年代到80年代，柯召发表了上百篇卓有创见的论文，其中不少论文从结果到方法在国际上都产生了重大影响，具有重要的学术价值。

中国二次型研究的开拓者

从30年起，柯召在表二次型为线性型平方和的问题方面，在二次型表为不可分解型之和以及二次型的等价分类等问题上，作了一系列重要工作，他是中国二次型研究的开拓者。

1.表平方和问题。

设

是一个整系数正定二次型，Rn表示最小的i，j=1正整数rn，使得对一个任给的n元二次型f，存在rn个线性型

这里Q表示有理数域。寻求Rn的工作始于E.G.H.兰道(Landau)和莫德尔。1937年，莫德尔证明了Rn≤n十3。1937年，柯召对Rn≤n十3给出了一个简洁的证明，并于1938年证明了Rn=n十3，从而彻底解决了这一问题。这是他在二次型方面的第一个重要工作。

1940年，他还证明了对于任给的非定n元么模二次型f，存在εi=±1和线性型Li，使得

2.不可分问题。

设f是一个整系数正定二次型，如果f不能表成二个整系数非负二次型的和，我们称f是n元不可分解型。1937年，莫德尔证明了对于n≤5，不存在不可分解型，而在n=8时有这样的型存在。柯召和爱尔特希证明了n≥12时，除开n=13，17，19，23外，均存在n元不可分解型，使这一问题得以基本解决。1958年，柯召证明了不存在13元不可分解型。

3.类数问题。

设Cn，1，代表n元正定么模二次型的类数。C.埃尔米特(Her-mite)证明了n≤7时，Cn，1=1。1937年，莫德尔证明了C8，1=2。1938年，柯召证明了n=9，10，11时，Cn，1=2。同年，他和爱尔特希证明了对适当大的n，Cn，1≥2√n。1958年至1960年，他先后证明了C12，1=C13，1=3，C14，1=4，C15，1=5，以及C16，1≥8，并且找出了每一个类的代表型。

这些结果，至今仍具有重要的学术价值。1988年，在日本召开的国际信息论会议上，两位获奖人中的一位——美国数学家N.J.A.斯托勒(Stoane)，对一位中国代表谈到柯召30年代有关二次型的论文时说：“我很惊异中国人那么早就已作出了巨大的成就。”斯托勒还请这位代表带信向柯召致意：“我拜读了您1938年关于二次型的论文，棒极了。”

对不定方程的突出贡献

柯召从30年代起，就潜心研究不定方程，对这个领域的贡献十分突出。

1.爱尔特希猜想的否定。

1938年，爱尔特希猜想：不定方程xxyy=zz (1)无整数解x>1，y>1，z>1。1940年，柯召用极其精湛的初等方法证明了当(x，y)=1时，方程(1)无x>1，y>1，z>1的整数解;但当(x，y)>1时，有无穷多组解

时至今日，50多年过去了，爱尔特希对这一美妙的结果仍然赞叹不已。爱尔特希说：“柯给出的无穷多组解使我十分惊奇，也许这就是方程的全部解。”事实上，方程(1)有无其他的解?方程(1)有无奇数解?这是两个至今仍未解决的问题。

2.M.维尔纳(Werner)猜想的证明。

维尔纳猜想：不存在3个有理数，它们的和为1，它们的乘积也是1。即不定方程

x十y十z=xyz=1无有理数解。

这一猜想在很长时间内使数学家们束手无策。这一猜想等价于不定方程

x3+y3+z3-xyz=0，(x，y，z)=1

无xyz≠0的整数解。1960年，柯召以其扎实的代数数论功底，证明了这一猜想。近年来，不定方程x十y十z=xyz=1已推广到各种代数数域，引出一系列深刻的工作。

3.柯氏定理，卡塔朗猜想的重大突破。

1842年，法国数学家E.C.卡塔朗(Catalan)提出一个猜想：8和9是仅有的二个大于1的连续整数，它们都是正整数的乘幂。这一著名的猜想，在很长一段时间内，甚至连“是否有3个连续整数，它们都是正整数的乘幂;以及方程x2=yn十1(n>3，xy≠0)是否有正整数解”都未解决。1962年，柯召以极其精湛的方法解决了这两个难度很大的问题。他证明了不存在3个连续数都是正整数的乘幂，以及证明了方程x2=yn十1在n>3时无xy≠0的正整数解。这是研究卡塔朗猜想的重大突破。莫德尔的专著《不定方程》(The Diophantine Equations)中把柯召关于方程x2-1=yn的结果称为柯氏定理。特别是，他在证明这个定理时，提出了计算雅可比(Jacobi)符号来研究不定方程的方法，这里n是奇数，p、q是不同的奇素数。1977年，G.特尔加尼亚(Terjanian)对偶指数费马大定理第一情形的证明，以及1983年，A.罗特基维奇(Rotkiwicz)在不定方程中所取得的一系列重要结果，都用到柯召的方法和思想。

爱尔特希-柯-拉多定理

设S是一个有限集，|S|=n，AiS，|Ai|≤k，n≥2k，AAj，|A∩Aj|≠0，1≤i

柯召在治学上一贯是非常勤奋、刻苦和严谨的。他长期担任重要的社会工作和行政职务，除了教学任务，还能在科研上不断写出高质量的论文，实非易事。他非常善于利用时间。50年代到60年代，他常在旅途中进行科研，有的论文就是在火车上构思的。1974年，他被自行车撞伤，为此卧床近2个月，而那份组合论讲义就是养伤期间在病榻上完成的。在年过八旬后，他仍经常花大量时间审阅稿件和做评论论文的工作，关心数论的发展。1990年4月，《四川大学学报》(自然科学版)为庆祝柯召80寿辰出版了专辑，共发表了献给柯召80寿辰的论文38篇，包括爱尔特希、格雷厄姆、R.蒂德曼(Tijdeman)，以及王元、陈景润、万哲先、潘承洞等一批国内外著名数学家撰写的优秀论文，充分表明他在数学界享有的崇高声誉。他的学术成就和品格，得到了人们的敬重。1990年4月12日，四川大学和四川省科学技术协会联合举行了庆祝柯召80寿辰暨执教60年大会，有数百人出席，大会收到全国各地贺电、贺信上百件，人们怀着崇敬的心情，回顾他几十年来所走过的成功和艰难的道路，颂扬他为发展祖国的数学事业所做的无私奉献。正如中国科学院、国家科学技术委员会的贺信中所指出的：“数十年来，柯召教授热爱社会主义祖国，忠诚人民的教育事业，努力献身国家的科学事业，为我国的教育事业和科学技术事业作出了重大贡献。”