2016-10-26
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苏珊很为难.她步行去学校,路上老是遇到斯廷基.斯廷基:嘿嘿,苏珊,我可以陪你一起走吗?苏珊:不!请走开.
苏珊心想:我有办法了.每天早上我走不同的路线去学校.这样斯廷基就不知道在哪儿找到我了.这张地图表示苏珊的住所和学校之间的所有街道.苏珊去学校时,走路的方向总是朝南或朝东.她总共有多少条路线呢?
苏珊:我真想知道有多少条路线可走.让我想一想.要算出多少条路线看来并不简单.嗯.啊哈!一点不难,简单的很!苏珊想到了什么好主意?
她的推理如下:苏珊:在我家这个角点上写一个1,因为我只能从这一点出发.然后在遇刺相隔一个街区的两个角点上各写一个1,因为到那里只有一条途径.现在,我在这个角点上写上2,因为到达那里可以有两条途径.苏珊发现2是1加1之和,她忽然领悟:若到某一个仅有一条途径,则该角点上的数字为前一个角点上的数字;若有两条途径,则为前两个角点上的数字之和.
苏珊:瞧,又有四个角点标上了数字,我马上把其他角点也标上数字.请你替苏珊把剩下的角点标上数字,并且告诉她步行到学校共有多少条不同的路线.
苏珊的家H
1
1 1
2 1
3
2
5
学校G
剩下的5个点,自上而下,从左至右分别标以1,4,9,4,13.最后一点上的13表示苏珊去学校共有十三条最短路径.
苏珊所发现的是一种快速而简单的算法,用来计算从她家到学校的最短路径共有多少条.要是她把这些路径一条一条地画出来,然后再计数,这样肯定麻烦,还容易出错.如果街道的数目很多,那么这种方法根本就行不通.你不妨把这十三条路线都画出来,这样你就更能体会到苏珊的算法是多么地有效了.
你对这种算法是否已经理解,可以再画一些不同的街道网络,然后用这种算法来确定从任意点A到另一任意点B的最短路线共有多少条.网络可以是矩形网格,三角形网格,平行四边形网格和蜂窝状的正六边形网格.也可以用其他方法(例如组合公式)求解,但这种方法十分复杂,需要很高的技巧.
在国际象棋棋盘上,车从棋盘的一角到对角线上另一角的最短路径共有多少条?就像苏珊给街道交点标上数字一样,把棋盘上所有格子也都填上数字,于是问题就迎刃而解了.车只能沿着右上方向朝另一个角的目标移动,便可以求出共有多少条最短路径.如图所示:
1 8 36 120 330 792 1716 3432 1 7 28 84 210 462 924 1716 1 6 21 56 126 252 462 792 1 5 15 35 70 126 210 330 1 4 10 20 35 56 84 120 1 3 6 10 15 21 28 36 1 2 3 4 5 6 7 8 车 1 1 1 1 1 1 1 把整个棋盘正确标号,根据所标的数字,一眼就能看出在棋盘上从一个角出发到任意一角,有多少条最短路线.右上角的数字是3432,所以车从一角到对角线的另一角的最短路径共有3432条.
让我们把棋盘沿着左上至右下的对角线一截为二,使其成为如下图所示的阵列.此三角形上的数字与著名的怕斯卡三角形(我国叫做杨辉三角形)的数字是相同的,当然,计算街道路径条数的算法,恰恰就是构造怕斯卡三角形所依据的过程.这种同构现象使得怕斯卡三角形成为无数有趣特性的不竭的源泉.
1
11
121
1331
14641
...........
利用怕斯卡三角形立即可以求出二项式展开的系数,即求(a+b)的任意次幂,同样也可以用来解出初等概率论中的许多问题.请注意,上图中自顶部至底部,从边沿一格来说是1,随着向中间移动,数字逐渐增加.也许你见过根据怕斯卡三角形所制成的一种装置:在一快倾斜的板上,成百个小球滚过木钉进入各格的底部.全部小球呈现出一条钟形的二项式分布曲线,因为到达每个底部孔位的最短路径的条数就是二项式展开的系数.
显然,苏珊的算法同样适用于由矩阵格子组成的三维结构.设有一个边长为3的立方体,分成27个立方体单元,把它看成棋盘,处于某一个角格上的车可以向三个坐标上的任何位置作直线移动,试问车到空间对角线的另一个角格有多少条最短路径?
3.2直棱柱、圆锥的侧面展开图(第1课时)课件(共7张PPT)
4.2.2用列表法求概率(第1课时)课件+练习
3.3三视图(第2课时)课件
湘教版九年级下3.3圆与圆的位置关系课件ppt
3.3三视图(第1课时)课件
1.2二次函数的图象与性质(第1课时)课件
湘教版九年级下3.4.2圆锥的侧面积和全面积课件ppt
3.1投影课件+练习
4.1随机事件与可能性(第2课时)课件ppt
4.3用频率估计概率件+练习
1.3不共线三点确定二次函数的表达式课件(共6张PPT)
1.2二次函数的图象与性质(第3课时)课件
4.3用频率估计概率课件ppt
2.4过不共线三点作圆课件ppt
湘教版九年级下3.4.1弧长和扇形的面积(1)课件ppt
1.2二次函数的图象与性质(第2课时)课件
4.2概率及其计算(第2课时)课件ppt
湘教版九年级下第3章圆数学与文化课件ppt
1.5二次函数的应用(第二课时)课件ppt
湘教版九年级下第4章数学与文化课件ppt
4.2.1概率的概念课件+练习
4.1随机事件与可能性(第1课时)课件ppt
3.3由几何体到三视图(第1课时)课件+练习
3.1投影(第2课时)课件ppt
2.3垂径定理课件ppt
1.5二次函数的应用(第一课时)课件ppt
3.1投影(第1课时)课件ppt
3.3三视图(第4课时)课件ppt
湘教版九年级下3.4.1弧长和扇形的面积(2)课件ppt
2.5直线与圆的位置关系(第1课时)课件ppt
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