2016-10-26
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(l)在季后赛中,各队(以各队基地所在城市的名称表示)的得分情况如下:
三场比赛中 的得分记录 | |
塞克斯顿城队 | l37 |
特里布尔城队 | l46 |
阿尔斯特城队 | 236 |
凡尔迪尤城队 | 24-5 |
(2)各队在季后赛中赢的场数各不相同。
(3)季后赛中每场比赛的比分各不相同。
(4)在各场比赛中两队得分差距最大的是3分。这个差距只出现过一次,在季后赛中输的场数最多的那个队输给对方3分。
(5)在季后赛的第一轮中有两个队的得分相同,在第二轮中有两个队的得分相同。(各队同时比赛一次称一“轮”。)
(6)在最后一轮中,野猫队的得分为较大的奇数,红猫队的得分为较小的奇数,美洲狮队的得分为较大的偶数,家猫队的得分为较小的偶数。
四支棒球队中的哪一支球队----野猫队、红猫队、美洲狮队,还是家猫队夺得了锦标?
(提示:总共比赛了多少场?不考虑队名,各队蠃了多少场?对于夺得锦标的队,可能是哪一种三场得分组合?对于输的场数最多的队,可能是哪一种三场得分组合?夺得锦标的队参加的比赛,结果可能是什么样的比分?输的场数最多的队参加的比赛,结果可能是什么样的比分?)
答 案
根据(1),总共比赛了六场。
根据{(2)各队在季后赛中赢的场数各不相同。}以及比赛了六场的事实,一个队赢了三场,一个队赢了两场,一个队赢了一场,一个队一场都没赢(因此没有平局)。塞克斯顿城队和特里布尔城队都不可能赢三场,因为它们都有一场比赛只得了1分。塞克斯顿城队没有三场全输,因为有一场比赛它得了季后赛中的最高分(7分)。因此,下列四种情况必有一种发生:
Ⅰ.凡尔迪尤城队赢了三场,特里布尔城队一场都没赢。
Ⅱ.凡尔迪尤城队赢了三场,阿尔斯特城队一场都没赢。
Ⅲ.阿尔斯特城队赢了三场,特里布尔城队一场都没赢。
Ⅳ.阿尔斯特城队赢了三场,凡尔迪尤城队一场都没赢。
除(l)之外,下面的推理还用到了(3)和(4)。
如果发生的是Ⅰ,则特里布尔城队对塞克斯顿城队的比赛结果是6比7,于是特里布尔城队得4分的那场比赛的对手不是凡尔迪尤城队就是阿尔斯特城队。如果是凡尔迪尤城队,则对于特里布尔城队余下的那场比赛来说,(4)就得不到满足。因此特里布尔城队得4分的那场比赛的对手是阿尔斯特城队,而且那场比赛阿尔斯特城队得了6分。于是特里布尔城队对凡尔迪尤城队的比赛结果是1比4,从而凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是2比1,凡尔迪尤城队对阿尔斯特城队是5比3,塞克斯顿城队对阿尔斯特城队是3比2。这样,三轮比赛的结果可表示如下(S代表塞克斯顿城队,T代表特里布尔城队,U代表阿尔斯特城队,V代表凡尔迪尤城队):
ST | TU | TV |
7:6 | 4:6 | 1:4 |
VU | VS | SU |
5:3 | 2:1 | 3:2 |
这种情况与{(5)在季后赛的第一轮中有两个队的得分相同,在第二轮中有两个队的得分相同。(各队同时比赛一次称“轮”。)}矛盾,所以I被排除。
如果发生的是Ⅱ,则阿尔斯特城队对塞克斯顿城队是6比7。于是,根据{(4)在各场比赛中两队得分差距最大的是3分。这个差距只出现过一次,在季后赛中输的场数最多的那个队输给对方3分。},要么阿尔斯特城队对凡尔迪尤城队是2比5,要么阿尔斯特城队对特里布尔城队是3比6。如果是前者,则阿尔斯特城队对特里布尔城队是3比4,从而凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是4比3,凡尔迪尤城队对特里布尔城队是2比1。但是这样一来,将导致塞克斯顿城队对特里布尔城队是1比6,而这与(4)矛盾。因此,应该是阿尔斯特城队对特里布尔城队是3比6。从而阿尔斯特城队对凡尔迪尤城队是2比4。接下来,要么凡尔迪尤城队对特里布尔城队是2比1,要么凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是2比1。如果是前者,则凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是5比3。但是这样一来,将导致塞克斯顿城队对特里布尔城队是2比4,而这与(4)矛盾。因此,应该是凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是2比1。从而凡尔迪尤城队对特里布尔城队是5比4,塞克斯顿城队对特里布尔城队是3比1。这样,三轮比赛的结果可表示如下:
US | UT | UV |
6:7 | 3:6 | 2:4 |
VT | VS | ST |
5:4 | 2:1 | 3:l |
这种情况与(5)矛盾,所以Ⅱ被排除。
如果发生的是Ⅲ,则特里布尔城队对塞克斯顿城队是6比7。于是,特里布尔城队仅得1分的那场比赛的对手不是阿尔斯特城队就是凡尔迪尤城队。如果是阿尔斯特城队,则对于特里布尔城队余下的那场比赛来说,(4)就得不到满足。因此特里布尔城队仅得1分的那场比赛的对手是凡尔迪尤城队,而且那场比赛凡尔迪尤城队得了4分。于是,特里布尔城队对阿尔斯特城队是4比6,阿尔斯特城队对凡尔迪尤城队是3比2,阿尔斯特城队对塞克斯顿城队是2比1,塞克斯顿城队对凡尔迪尤城队是3比5。这样,三轮的比赛结果可表示如下:
TS | TV | TU |
6:7 | 1:4 | 4:6 |
UV | US | SV |
3:2 | 2:1 | 3:5 |
这种情况与(5)矛盾,所以Ⅲ被排除。
如果发生的是Ⅳ,则凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是4比7。于是,要么凡尔迪尤城队对特里布尔城队是5比6,要么是凡尔迪尤城队对阿尔斯特城队是5比6。同时,要么阿尔斯特城队对塞克斯顿城队是2比1,要么阿尔斯特城队对特里布尔城队是2比1。因此,共有四种可能。我们进行推理如下(其中(b)中又发生了两种可能):
(a)如果
VS | VT | US | 则 | VU | 则 | UT | 则 | ST | |
4:7 | 5:6 | 2:1 | 2:3 | 6:4 | 3:l | ||||
(b)如果 | VS | VT | UT | 则 | VU | 则 | US 6:3 | 则 | ST 1:4 |
4:7 | 5:6 | 2:1 | 2:3 | 或 US 6:1 | 则 | ST 3:4 | |||
(c)如果 | VS | VU | US | 则 | VT | 则 | UT | 则 | ST |
4:7 | 5:6 | 2:1 | 2:4 | 3:1 | 3:6 | ||||
(d)如果 | VS | VU | UT | 则 | VT | 则 | US | 则 | ST |
4:7 | 5:6 | 2:1 | 2:4 | 3:1 | 3:6 |
根据(4),(b)、(c)和(d)被排除。这样,三轮的比赛结果可表示如下:
(a) | VS | VU | VT |
4:7 | 2:3 | 5:6 | |
UT | ST | US | |
6:4 | 3:1 | 2:1 |
这是唯一余下的并且能够满足(5)的情况。
根据(5)和(6),
是最后一轮。
根据{(6)在最后一轮中,野猫队的得分为较大的奇数,红猫队的得分为较小的奇数,美洲狮队的得分为较大的偶数,家猫队的得分为较小的偶数。},可以把各支棒球队与它们的基地所在城市对应起来:
野猫队:凡尔迪尤城美洲狮队:特里布尔城
红猫队:塞克斯顿城家猫队:阿尔斯特城
由于Ⅳ实际发生的情况,所以阿尔斯特城队赢了季后赛中所有的比赛。由于阿尔斯特城队就是家猫队,所以夺得锦标的是家猫队。
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