1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120，则边c的值是()

A．8　 B．217

C．62 D．219

解析：选D.根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－246cos 120＝76，c＝219.

2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120，则sin A的值为()

A.5719 B.217

C.338 D．－5719

解析：选A.c2＝a2＋b2－2abcos C

＝22＋32－223cos 120＝19.

c＝19.

由asin A＝csin C得sin A＝5719.

3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________．

解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为4a2＋4a2－a222a2a＝78.

答案：78

4．在△ABC中，若B＝60，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．

解：法一：根据余弦定理得

b2＝a2＋c2－2accos B.

∵B＝60，2b＝a＋c，

(a＋c2)2＝a2＋c2－2accos 60，

整理得(a－c)2＝0，a＝c.

△ABC是正三角形．

法二：根据正弦定理，

2b＝a＋c可转化为2sin B＝sin A＋sin C.

又∵B＝60，A＋C＝120，

C＝120－A，

2sin 60＝sin A＋sin(120－A)，

整理得sin(A＋30)＝1，

A＝60，C＝60.

△ABC是正三角形．

课时训练

一、选择题

1．在△ABC中，符合余弦定理的是()

A．c2＝a2＋b2－2abcos C

B．c2＝a2－b2－2bccos A

C．b2＝a2－c2－2bccos A

D．cos C＝a2＋b2＋c22ab

解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题．

2．(2011年合肥检测)在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是()

A.1213 B.513

C．0 D.23

解析：选C.∵c＞b＞a，c所对的角C为最大角，由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝0.

3．已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是()

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．不能确定

解析：选B.∵42＝16＞22＋32＝13，边长为4的边所对的角是钝角，△ABC是钝角三角形．

4．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为()

A. B.6

C.2 D.3或23

解析：选C.由已知得b2＋c2－a2＝－bc，

cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，

又∵0＜A＜，A＝23，故选C.

5．在△ABC中，下列关系式

①asin B＝bsin A

②a＝bcos C＋ccos B

③a2＋b2－c2＝2abcos C

④b＝csin A＋asin C

一定成立的有()

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

解析：选C.由正、余弦定理知①③一定成立．对于②由正弦定理知sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)，显然成立．对于④由正弦定理sin B＝sin Csin A＋sin Asin C＝2sin Asin C，则不一定成立．

6．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于()

A.14 B.34

C.24 D.23

解析：选B.∵b2＝ac，c＝2a，

b2＝2a2，

cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a22a2a

＝34.

二、填空题

7．在△ABC中，若A＝120，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.

解析：由余弦定理，

得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcosA，

即49＝25＋AC2－25AC(－12)，

AC2＋5AC－24＝0.

AC＝3或AC＝－8(舍去)．

答案：3

8．已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是________．

解析：解方程可得该夹角的余弦值为12，由余弦定理得：42＋52－24512＝21，第三边长是21.

答案：21

9．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是________．

解析：由正弦定理，

得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8.

不妨设a＝5k，b＝7k，c＝8k，

则cos B＝5k2＋8k2－7k225k8k＝12，

B＝3.

答案：3

三、解答题

10．已知在△ABC中，cos A＝35，a＝4，b＝3，求角C.

解：A为b，c的夹角，

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，

16＝9＋c2－635c，

整理得5c2－18c－35＝0.

解得c＝5或c＝－75(舍)．

由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝16＋9－25243＝0，

∵0＜C＜180，C＝90.

11．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝3asin B，求C的大小．

解：由题意可知，

(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，

于是有a2＋2ab＋b2－c2＝3ab，

即a2＋b2－c22ab＝12，

所以cos C＝12，所以C＝60.

12．在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状．

解：由余弦定理知cos B＝a2＋c2－b22ac，代入c＝acos B，

得c＝aa2＋c2－b22ac，c2＋b2＝a2，

△ABC是以A为直角的直角三角形．

又∵b＝asin C，b＝aca，b＝c，

△ABC也是等腰三角形．

综上所述，△ABC是等腰直角三角形．