一些好用的高中数学椭圆解题方法

一、设点或直线

做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。其中点可以设为

,

等，如果是在椭圆

上的点，还可以设为

。一般来说，如果题目中只涉及到唯一一个椭圆上的的动点，这个点可以设为

。还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。对于一条直线，如果过定点

并且不与y轴平行，可以设点斜式

,如果不与x轴平行，可以设

，如果只是过定点，可以设参数方程

，其中是直线的倾斜角。一般题目中涉及到唯一动直线时可以设直线的参数方程。

二、转化条件

有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。

有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单。

三、代数运算

转化完条件就剩算数了。很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式

，设参数方程时，弦长公式可以简化为

解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为

和

，AB与x轴交于D，则

(d是点O到AB的距离；第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用)。

解析几何中很多题都有动点或动直线。如果题目只涉及到一个动点时，可以考虑用参数设点。若是只涉及一个过定点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简单一些。

在解析几何中还有一种方法叫点差法，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式。

四、能力要求

做解析几何题，首先对人的耐心与信心是一种考验。在做题过程中可能遇到会一大长串的式子要化简，这时候，只要你方向没错，坚持算下去肯定能看到最终的结果。另外运算速度和准确率也是很重要的，在真正考试的时候肯定不像平时做题的时候能容你慢慢做题，因此需要有一定的做题速度，在做题的时候运算准确也是必须要保证的，因为一旦算错数，就很可能功亏一篑。

五、理论拓展

这一部分主要说一些对做题有帮助的公式、定理、推论等内容

关于直线：

1、将直线的两点式整理后，可以得到这个方程:

。据此可以直接写出过

和

两点的直线，至于这两点连线是否与x轴垂直，是否与y轴垂直都没有关系。对于一些坐标很复杂的点，可以直接代入这个方程便捷的得到过两点的直线。

2、直线一般式Ax+By+C=0表示的这条直线和向量（A,B）垂直；过定点

的直线的一般式可以写为

。根据这两条推论可以快速地写出两点的垂直平分线的方程。

关于椭圆：

3、椭圆

的焦点弦弦长为

（其中是直线的倾斜角，k是l的斜率）。右焦点的焦点弦中点坐标为

，将横纵坐标都取相反数可得左焦点弦的中点坐标。

4、根据椭圆的第二定义，椭圆上的点到焦点的距离与到同一侧的准线的距离之商等于椭圆的离心率。椭圆

的准线是

。

上面给出的几个内容大都是教材中没有的，但这不代表这些东西在考场上不能用。比如前两条内容，用的时候稍稍变换一下，老师也不一定知道你是在套结论。如果想用第三条的话，可以装模作样地算算，实际上再套用结论，估计老师也未必能看出来。至于第4个内容，直接用有一定风险，如果用上能解题的话，不到山穷水尽也最好还是别用。用这些结论，都能或多或少地减小运算量，降低算错的几率。

下面看几道例题。建议大家看解题过程之前最好先自己做一做。

就算不做也一定要看啊，里面涉及到有好多方法的！

例1

例2

例3

例4

例5