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2016高考数学高分方法:函数值域的求法

2016-10-26 收藏

一.观察法

通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。

例1求函数y=3+(2-3x)的值域。

点拨:根据算术平方根的性质,先求出(2-3x)的值域。

解:由算术平方根的性质,知(2-3x)0,

故3+(2-3x)3。

函数的知域为.

点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。

练习:求函数y=[x](05)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5})

二.反函数法

当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。

解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y1的实数,故函数y的值域为{y∣y1,yR}。

点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。

练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y-1或y1})

三.配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例3:求函数y=(-x2+x+2)的值域。

点拨:将被开方数配方成平方数,利用二次函数的值求。

解:由-x2+x+20,可知函数的定义域为x[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4[0,9/4]

0-x2+x+23/2,函数的值域是[0,3/2]

点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习:求函数y=2x-5+15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y3})

四.判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。

解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)

当y2时,由=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)0,解得:2

当y=2时,方程(*)无解。函数的值域为2

点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b(cx2+dx+e)的函数。

练习:求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域为y-8或y0)。

五.值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的较值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的值,可得到函数y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。

解:∵3x2+x+10,上述分式不等式与不等式2x2-x-30同解,解之得-13/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-13/2),

z=-(x-2)2+4且x[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。

当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4。

函数z的值域为{z∣-515/4}。

点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的值。对开区间,若存在值,也可通过求出值而获得函数的值域。

练习:若x为实数,则函数y=x2+3x-5的值域为()

A.(-,+)B.[-7,+]C.[0,+)D.[-5,+)

(答案:D)。

六.图象法

通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域。

例6求函数y=∣x+1∣+(x-2)2的值域。

点拨:根据值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象。

解:原函数化为-2x+1(x1)

y=3(-1

2x-1(x2)

它的图象如图所示。

显然函数值y3,所以,函数值域[3,+]。

点评:分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象

求函数的值域,体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。

七.单调法

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例1求函数y=4x-1-3x(x1/3)的值域。

点拨:由已知的函数是复合函数,即g(x)=-1-3x,y=f(x)+g(x),其定义域为x1/3,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域。

解:设f(x)=4x,g(x)=-1-3x,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)=4x-1-3x

在定义域为x1/3上也为增函数,而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{y|y4/3}。

点评:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。

练习:求函数y=3+4-x的值域。(答案:{y|y3})

八.换元法

以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域。

例2求函数y=x-3+2x+1的值域。

点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的值,确定原函数的值域。

解:设t=2x+1(t0),则

x=1/2(t2-1)。

于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-41/2-4=-7/2.

所以,原函数的值域为{y|y-7/2}。

点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习:求函数y=x-1x的值域。(答案:{y|y-3/4}

九.构造法

根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。

例3求函数y=x2+4x+5+x2-4x+8的值域。

点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。

解:原函数变形为f(x)=(x+2)2+1+(2-x)2+22

作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位

正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=(2-x)2+22,

KC=(x+2)2+1。

由三角形三边关系知,AK+KCAC=5。当A、K、C三点共

线时取等号。

原函数的知域为{y|y5}。

点评:对于形如函数y=x2+a(c-x)2+b(a,b,c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

练习:求函数y=x2+9+(5-x)2+4的值域。(答案:{y|y2})

十.比例法

对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域。

例4已知x,yR,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。

点拨:将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数。

解:由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)

x=3+4k,y=1+3k,

z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

当k=-3/5时,x=3/5,y=-4/5时,zmin=1。

函数的值域为{z|z1}.

点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识。

练习:已知x,yR,且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。(答案:{f(x,y)|f(x,y)1})

十一.利用多项式的除法

例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。

点拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。

解:y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。

∵1/(x+1)0,故y3。

函数y的值域为y3的一切实数。

点评:对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。

练习:求函数y=(x2-1)/(x-1)(x1)的值域。(答案:y2)

十二.不等式法

例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。

点拨:先求出原函数的反函数,根据自变量的取值范围,构造不等式。

解:易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],

由对数函数的定义知x/(1-x)0

1-x0

解得,0

函数的值域(0,1)。

点评:考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式,求出函数定义域,进而求值域。不等式法是重要的解题工具,它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。

以下供练习选用:求下列函数的值域

1.Y=(15-4x)+2x-5;({y|y3})

2.Y=2x/(2x-1)。(y1或y0)

注意变量哦

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