2006年全国初中数学竞赛试题

考试时间 2006年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120分

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分）

1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）

（A）36 （B）37 （C）55 （D）90

2．已知，，且=8，则a的值等于（ ）

（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9

3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ）

（A）h （B）h=1 （C）1h （D）h2

4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）

（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007

5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）

6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a，则a＋b＋c的最大值为 ．

7．如图，面积为的正方形DEFG内接于

面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c为整数，

且b不能被任何质数的平方整除，则的值

等于 ．

8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．

9．已知0a1，且满足，则的值等于

．(表示不超过x的最大整数)

10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ．

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．已知，，为互质的正整数（即，是正整数，且它们的最大公约数为1），且≤8，．

（1） 试写出一个满足条件的x；

（2） 求所有满足条件的x．

12．设，，为互不相等的实数，且满足关系式

①

②

求a的取值范围．

13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB．

14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．

2006年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分）

1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）

（A）36 （B）37 （C）55 （D）90

答：C．

解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36=55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处．

故选C．

2．已知，，且=8，则a的值等于（ ）

（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9

答：C．

解：由已知可得，．又

=8，所以 解得a=－9

故选C．

3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ）

（A）h （B）h=1 （C）1h （D）h2

答：B．

解：设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（|c||a|），则点B的坐标为

（－a，a2），由勾股定理，得，

，

所以 ．

由于，所以a2－c2=1，故斜边AB上高h= a2－c2=1

故选B．

4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）

（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007

答：B．

解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k次后，可得(k＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k＋1)×360°．

因为这(k＋1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×(62－2)×180°=34×60×180°，其余多边形有(k＋1)－34= k－33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k－33) ×180°．所以(k＋1)×360°≥34×60×180°＋(k－33)×180°，解得k≥2005．

当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了

58＋33＋33×58=2005（刀）．

故选B．

5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

答：D．

解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r＋m，

QA=r－m．

在⊙O中，根据相交弦定理，得QA·QC=QP·QD．

即 (r－m)(r＋m)=m·QD ，所以 QD=．

连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2＋QO2，

即 ， 解得

所以，

故选D．

二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）

6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a，则a＋b＋c的最大值为 ．

答：5013．

解：由，，得 ．

因为，a，a为整数，所以，a的最大值为1002．

于是，a＋b＋c的最大值为5013．

7．如图，面积为的正方形DEFG内接于

面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c为整数，

且b不能被任何质数的平方整除，则的值

等于 ．

答：．

解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则，

由△ADG∽△ABC，可得， 解得

于是 ，

由题意，，，，所以．

8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．

答：104．

解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了46×=368x米．于是368(x－1)＋800－400(x－1)400，

所以，12.5≤x13.5． 故x=13，此时．

9．已知0a1，且满足，则的值等于 ．(表示不超过x的最大整数)

答：6．

解：因为0，所以，，…，等于0或1．由题设知，其中有18个等于1，所以

=0，=1，

所以 ，1≤＜2．

故18≤30a＜19，于是6≤10 a＜，所以=6．

10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ．

答：282500．

解：设原来电话号码的六位数为，则经过两次升位后电话号码的八位数为

．根据题意，有81×=．

记，于是

，

解得x=1250×(208－71a) ．

因为0≤x＜，所以0≤1250×(208－71a)＜，故≤．

因为a为整数，所以a=2．于是x=1250×(208－71×2)=82500．

所以，小明家原来的电话号码为282500．

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．已知，，为互质的正整数（即，是正整数，且它们的最大公约数为1），且≤8，．

（1）试写出一个满足条件的x；

（2）求所有满足条件的x．

解：（1）满足条件． ……………5分

（2）因为，，为互质的正整数，且≤8，所以

， 即 ．

当a=1时，，这样的正整数不存在．

当a=2时，，故=1，此时．

当a=3时，，故=2，此时．

当a=4时，，与互质的正整数不存在．

当a=5时，，故=3，此时．

当a=6时，，与互质的正整数不存在．

当a=7时，，故=3，4，5此时，，．

当a=8时，，故=5，此时

所以，满足条件的所有分数为，，，，，，．………………15分

12．设，，为互不相等的实数，且满足关系式

①

②

求a的取值范围．

解法一：由①－2×②得，所以a－1．

当a－1时， =．………………10分

又当时，由①，②得 ， ③

④

将④两边平方，结合③得

化简得 ， 故 ，

解得，或．

所以，a的取值范围为a－1且，．………………………15分

解法二：因为，，所以

，

所以 ． 又，所以，为一元二次方程

⑤

的两个不相等实数根，故，所以a－1．

当a－1时， =．………………10分

另外，当时，由⑤式有 ，

即 或 ，解得，或．

当时，同理可得或．

所以，a的取值范围为a－1且，．………………………15分

13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB．

证明：因为AC∥PB，所以∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切线，

所以∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，于是

△KPE∽△KAP，

所以 ， 即 ．

由切割线定理得

所以 ． …………………………10分

因为AC∥PB，△KPE∽△ACE，于是

故 ，

即 PE·AC=CE·KB． ………………………………15分

14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．

解：设10个学生为，，…，，n个课外小组，，…，．

首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾． ………………………………5分

若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设恰好参加，，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与没有同过组，矛盾．

所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n个课外小组，，…，的人数之和不小于3×10=30．

另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n个课外小组，，…，的人数不超过5n， 故 5n≥30， 所以n≥6． ……………………………10分

下面构造一个例子说明n=6是可以的．

，，，

，，．

容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．

所以，n的最小值为6． ……………………………15分